B015943 (B186) - Matematica 2017-2018
Indice degli argomenti
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Il prossimo appello scritto è in programma
Martedì 5 settembre 2018 ore 14:30 in aula 39 del blocco aule di Sesto Fiorentino.
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Lezione 1: 21/09/2017 3 ore
Argomento: Introduzione al corso. Numeri (N, Z, Q, R) e unità di misura. Notazione scientifica e potenze del 10. Ordine di grandezza. Valore stimato ed errore assoluto. Cifre significative. (Libro Abate, selezione dai paragrafi da 1.1 a 1.4).
Esercizi consigliati: da 1.1 a 1.24.
Lezione 2: 22/09/2017 2 ore
Argomento: Numeri algebrici e trascendenti; pi greco e numero di nepero; successioni e serie di numeri. Errore relativo di una misura; precisione di una misura. Propagazione di errori: somma, differenza, prodotto di misure positive e comportamento degli errori. (Libro Abate, selezione dai paragrafi 1.5, 1.6, 6.1).
Esercizi consigliati: da 1.38 a 1.47.
Lezione 3: 28/09/2017 3 ore
Argomento: Propagazione di errori: reciproco e quoziente di misure positive e comportamento degli errori. Percentuali ed errori relativi. Probabilità discreta: spazio degli eventi, insieme delle parti, evento semplice, composto, complementare. Assiomi delle probabilità e percentuali. Probabilità dell'evento unione. Eventi indipendenti. Combinazioni, permutazioni, disposizioni. (Libro Abate, selezione dai paragrafi 1.6, 1.7, 10.1, 10.2, 10.6, 10.10 come da terza edizione).
Lezione 4: 29/09/2017 2 ore
Argomento: Probabilità discreta: eventi indipendenti; probabilità condizionata; principio base del calcolo combinatorio; distribuzione di probabilità; distribuzione binomiale; legge dei grandi numeri e frequenze relative. (Libro Abate, selezione dai paragrafi 10.3, 10.4, 10.6, 10.8, 10.10, 10.11 come da terza edizione).
Esercizi consigliati (come da terza edizione): da 1.48 a 1.57; da 10.1 a 10.5.
Lezione 5: 05/10/2017 3 ore
Argomento: Probabilità discreta: variabile aleatoria, distribuzione Bernoulliana, media, varianza, test Z. Funzioni: definizione di funzione, iniettività, suriettività, biettività, composizione di funzioni, come definire una funzione, funzioni reali, funzioni lieari, coefficiente angolare. (Libro Abate, selezione dai paragrafi 10.11, 12.1, 12.2, 12.10, 12.11, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 5.1 come da terza edizione).
Lezione 6: 06/10/2017 2 ore
Argomento: Test Z per modello generico testa-croce; equazioni e disequazioni nel piano cartesiano. (Libro Abate, selezione dai paragrafi 2.5 come da terza edizione). Esercizi svolti (come da terza edizione): 2.25 e 2.27.
Esercizi consigliati (come da terza edizione): da 2.5 a 2.9.
Lezione 7: 12/10/2017 3 ore
Argomento: Funzioni algebriche: funzioni lineari affini, coefficiente angolare, intercetta ordinate, limiti all'infinito, retro immagine di disuguaglianze, interpolazione ed estrapolazione lineare, programmazione lineare; funzioni monotone; funzioni quadratiche e loro limiti all'infinito, definizioni alternative di parabola, massimi e minimi per funzioni quadratiche. (Libro Abate, selezione dai paragrafi 5.1, 5.2, 5.3 come da terza edizione).
Lezione 8: 13/10/2017 2 ore
Argomento: Funzioni algebriche: funzioni polinomiali e loro comportamento all'infinito, interpolazione ed estrapolazione polinomiale; funzioni potenza; funzioni razionali, funzioni lineari fratte e loro limiti all'infinito. (Libro Abate, selezione dai paragrafi 5.4, 5.5, 5.6 come da terza edizione).
Esercizi consigliati (come da terza edizione): da 5.17 a 5.21.
Lezione 9: 19/10/2017 3 ore
Argomento: Limiti e continuità: definizioni e proprietà dei limiti; teorema di Weierstrass; teorema degli zeri. (Libro Abate, selezione dal paragrafo 5.7 come da terza edizione).
Lezione 10: 20/10/2017 2 ore
Argomento: La funzione esponenziale, il numero e. Limite della funzione esponenziale all'infinito. Esempi svolti: 6.1, 6.2. Esercizi svolti: 6.1, 6.2. Esercizi assegnati: 6.5, 6.12, 6.13. Lezione tenuta da Giorgio Ottaviani.
Lezione 11: 26/10/2017 3 ore
Argomento: Funzioni logistiche. Funzioni logaritmiche. Esempi svolti: 6.3. Esercizi svolti: 6.3, 6.4, 6.10 (parziale), 6.21(parziale), 6.22(parziale).
Esercizi assegnati: 6.10, 6.21, 6.22. Lezione tenuta da Giorgio Ottaviani.
Lezione 12: 27/10/2017 2 ore
Argomento: Funzioni trigonometriche. Funzioni sinusoidali. Esercizi svolti: 6.36, 6.37 (parziali), 6.50.
Esercizi assegnati: 6.36, 6,37, 6.44, 6.53. Lezione tenuta da Giorgio Ottaviani.
Lezione 13: 2/11/2017 3 ore
Argomento: Serie geometrica. Rapporto incrementale e derivata. Derivata come coefficiente angolare della retta tangente. Derivata della somma, differenza, prodotto e quoziente.
Derivata di polinomi e di funzioni algebriche. Derivata della potenza di una funzione.
Esercizi assegnati: 5.60, 5.62, 5.63 (II edizione). 7.6, 7.7, 7.8 (III edizione).Lezione tenuta da Giorgio Ottaviani.
Lezione 14: 3/11/2017 2 ore
Argomento: Derivata di funzione composta e funzione inversa. Derivata della radice quadrata e della funzione x^q con q razionale.
Lezione tenuta da Giorgio Ottaviani.Lezione 15: 9/11/2017 3 ore
Argomento: Derivata di logaritmo naturale, esponenziale, seno, coseno, tangente, cotangente, arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arcocotangente.Esercizi svolti: 1.44, 5.19 (III edizione). Ripasso per la prova parziale.
Lezione 16: 10/11/2017 2 ore
Prima prova parziale scritta.Lezione 17: 16/11/2017 3 ore
Correzione della prova scritta. Segno della derivata e crescenza di una funzione. Estremi, massimi e minimi locali, flessi. Esempio svolto: 7.16. Esercizi svolti: 7.33, 7.44 (parzialmente), 7.41. Esercizi assegnati: 7.33, 7.34. Lezione tenuta da Giorgio Ottaviani
Lezione 18: 17/11/2017 2 ore
Derivata seconda e convessità/concavità. Studio qualitativo di funzioni. Esercizi svolti: 7.39, 7.43 (a), (b). Esercizi assegnati: 7.42, 7.43, 7.44. Lezione tenuta da Giorgio Ottaviani
Lezione 19: 23/11/2017 3 ore
Argomenti: regola di de l'Hospital. Sviluppo di Taylor. Esercizi svolti: 7.55, 7.56 (parzialmente) , 7.57 (parzialmente), 7.58 (parzialmente), 7.59.Lezione 20: 30/11/2017 3 ore
Argomenti: Ripasso in vista della seconda prova parziale. Esercizi svolti: 7.19 (parzialmente) , 7.33 (parzialmente), 7.34 (parzialmente), esercizi su serie geometriche e retta tangente al grafico di una funzione. -
Lezione 1: 28/02/2018 2 ore
Argomento: vari modi di definire una funzione: punto per punto, specificandone proprietà (ad esempio lineare, affine, quadratica), prescrivendo il comportamento della derivata; integrale proprio: definizione e prime proprietà (linearità); primo teorema fondamentale del calcolo integrale: enunciato e dimostrazione; secondo teorema fondamentale del calcolo integrale: enunciato e dimostrazione. (Dai paragrafi 8.1, 8.2 e 8.3 del libro di Abate, terza edizione.)
Lezione 2: 07/03/2018 2 ore
Argomento: conseguenze del secondo teorema fondamentale del calcolo integrale: funzioni primitive e integrale indefinito.Calcolo di integrale di funzione potenza, funzioni sinusoidali, funzioni esponenziali. Integrazione per parti; calcolo di integrale del logaritmo naturale. Integrazione per sostituzione; calcolo dell'integrale della tangente. (Dai paragrafi 8.3, 8.4 e 8.5 del libro di Abate, terza edizione.)
Esercizi consigliati: dal 8.11 al 8.14 del libro di Abate, terza edizione.
Lezione 3: 08/03/2018 3 ore
Argomento: Esercizi di ricapitolazione delle tecniche di integrazione. Integrali impropri. (Dal paragrafo 8.6 del libro di Abate, terza edizione.)
Esercizi svolti: 8.11 (f), 8.12 (f), 8.18 (a), 8.22 (a), 8.22 (e), 8.23 (e) del libro di Abate, terza edizione.
Lezione 4: 14/03/2018 2 ore
Argomento: media integrale e area orientata; introduzione alle equazioni differenziali ordinarie: concetti di ordine, equazione autonoma, equazione esplicita e implicita, equazione lineare, equazione omogenea, equazione a coefficienti costanti. Problema di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie: cosa si intende per soluzione. Teorema di Cauchy Kovalevskaya: esempio di non esistenza di soluzione, esempio di non unicità della soluzione, esempio di esistenza e unicità di soluzione non esprimibile mediante funzioni elementari. (Dai paragrafi 8.1, 8.7, 9.1 del libro di Abate, terza edizione.)
Esercizi consigliati: 8.18, 8.19, 8.22, 8.23, 8.28, 8.29, 8.32, 8.33 del libro di Abate, terza edizione.
Lezione 5: 15/03/2018 3 ore
Argomento: Esempio di problema di Cauchy che non soddisfa le ipotesi del teorema di Cauchy Kovalevskaya e che ammette unica soluzione differenziabile. Risoluzione del problema di Cauchy di equazione y'(t)=ay(t), al variare del parametro reale a. Risoluzione, con il metodo di sostituzione, del problema di Cauchy di equazione y'(t)=ay(t) + b, al variare dei parametri reali a, b. Problema di Cauchy per equazione di Riccati: risoluzione, con il metodo di separazione delle variabili, di un esempio con discriminante negativo (equazione y'(t)=y^2(t)+1). (Dai paragrafi 9.1, 9.2, 9.3 del libro di Abate, terza edizione.)
Esercizi svolti: 8.23 (d), 8.33(a) del libro di Abate, terza edizione.
Lezione 6: 21/03/2018 2 ore
Argomento: esempi svolti di problemi di Cauchy per equazione di Riccati con discriminante nullo e con discriminante positivo. Equazioni del secondo ordine esplicite lineari a coefficienti costanti: equazione omogenea associata, sua equazione caratteristica, formula risolutiva nel caso di due radici distinte. (Dai paragrafi 9.3, 9.5 del libro di Abate, terza edizione.)
Esercizi consigliati: 9.1, 9.2, 9.3, 9.11, 9.12, 9.19, 9.20, 9.42, 9.43 del libro di Abate, terza edizione.
Lezione 7: 22/03/2018 3 ore
Argomento: ripasso dell'enunciato del teorema di Cauchy Kovalevskaya. Equazioni del secondo ordine esplicite lineari a coefficienti costanti: forma esplicita di tutte le soluzioni dell'equazione omogenea associata (a seconda del discriminante della equazione caratteristica). Forma esplicita di una soluzione particolare di equazioni del secondo ordine esplicite lineari a coefficienti costanti. Forma esplicita di tutte le soluzioni di equazioni del secondo ordine esplicite lineari a coefficienti costanti. Equazione del moto armonico: risoluzione esplicita. Risoluzione di problemi di Cauchy relativi a equazioni del secondo ordine esplicite lineari a coefficienti costanti. (Dal paragrafo 9.5 del libro di Abate, terza edizione.)
Esercizi svolti: 9.47(a) del libro di Abate, terza edizione.
Lezione 8: 28/03/2018 2 ore
Argomento: ripasso degli argomenti in vista della prova scritta di Aprile.
Esercizi svolti: 8.28 (c), 9.11 (c), 9.19 (a), 9.47 (c) del libro di Abate, terza edizione.
Lezione 9: 19/04/2018 3 ore
Argomento: Introduzione alla geometria analitica. Punti nello spazio n-dimensionale. Origine dello spazio. Vettori applicati nell'origine. Corrispondenza tra punti dello spazio e vettori applicati. Operazioni tra i vettori: somma di vettori (regola del parallelogramma), prodotto di vettore per scalare. Direzione, verso, lunghezza di un vettore. Proporzionalità tra vettori. Vettore nullo. Base di spazio bidimensionale. Coordinate. Corrispondenza tra vettori applicati e coordinate in una fissata base. Base di spazio tridimensionale. (Dal paragrafo 3.1 del libro di Abate, terza edizione.)
Lezione 10: 20/04/2018 2 ore
Argomento: Definizione di spazi e sottospazi vettoriali; controesempi ed esempi. Definizione di vettori linearmente dipendenti e indipendenti, e relativa caratterizzazione sul piano e nello spazio. Definizione di vettori che generano uno spazio vettoriale, ed esempi. Definizione di base. Teorema di esistenza di basi. Definizione di dimensione di spazio vettoriale. Caratterizzazione dei sottospazi vettoriali di spazio vettoriale bidimensionale e tridimensionale. (Dal paragrafo 4.2 del libro di Abate, terza edizione.)
Esercizi consigliati: 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5 del libro di Abate, terza edizione.
Lezione 11: 26/04/2018 3 ore
Argomento: Definizione astratta di spazio vettoriale: operazione di somma e proprietà, operazione di prodotto per scalari e proprietà, proprietà distributive. Esempi: R^n, suoi sottospazi vettoriali. Definizione di prodotto scalare su uno spazio vettoriale astratto: funzioni bilineari, simmetriche, definite positive; esempio: prodotto scalare euclideo su R^2. Definizione di lunghezza di un vettore; definizione di angolo non orientato tra due vettori. Classificazione delle funzioni bilineari di R^n: definizione di matrice e regola del prodotto tra matrici. Classificazione delle funzioni bilineari simmetriche di R^n: definizione di matrici simmetriche. Classificazione delle funzioni bilineari simmetriche definite positive di R^2. Prodotti scalari non euclidei di R^2. Distanza tra punti di R^n.
Esercizio consigliato: dimostrare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.
(Dai paragrafi 3.2 e 4.4 del libro di Abate, terza edizione.)
Lezione 12: 02/05/2018 2 ore
Argomento: Funzioni lineari di R^k in R^m e loro rappresentazione mediante matrici; esempi. Composizione di funzioni lineari e matrice associata mediante prodotto righe per colonne. Funzioni lineari di uno spazio vettoriale in se stesso. Funzione identità e matrice identità. Funzione lineare inversa e matrice inversa; formula della matrice inversa nel caso 2x2. Determinante di una matrice 2x2 e sua interpretazione come area orientata; regola della mano destra. (Dai paragrafi 4.4 e 4.5 del libro di Abate, terza edizione.)
Esercizi consigliati: 3.9, 3.10, 4.39, 4.40 del libro di Abate, terza edizione.
Lezione 13: 03/05/2018 3 ore
Argomento: Determinante di matrici: formula dello sviluppo di Laplace per righe e per colonne, regole del determinante per scambio di righe o colonne, moltiplicazione per scalare di riga o colonna, di colonna o riga espressa come somma di vettori. Formula di Binet. Applicazioni lineari: nucleo, immagine sono sottospazi vettoriali; definizione di rango, formula per la dimensione del nucleo e dell'immagine. Invertibilità di una applicazione lineare col criterio del rango. Osservazioni sul calcolo del rango: righe o colonne proporzionali, analisi dei determinanti delle sottomatrici. Esempio di applicazione lineare: rotazione del piano: matrice associata, inversa, composizione di rotazioni, calcolo del rango della matrice di rotazione. Autovalori e autovettori: definizioni, calcolo del polinomio caratteristico. Autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti; applicazione per il calcolo delle iterate di una matrice.
Esercizi consigliati: dimostrare che la immagine di una applicazione lineare è un sottospazio vettoriale; dimostrare che gli autovettori di un fissato autovalore formano un sottospazio vettoriale; 4.32, 4.60 del libro di Abate, terza edizione.
(Dai paragrafi 4.5, 4.6 del libro di Abate, terza edizione.)
Lezione 14: 09/05/2018 2 ore
Argomento: Metodo di eliminazione di Gauss, esempi svolti 4.15 e 4.17. Esercizi svolti 4.32 (b), 4.60 (b). (Dal paragrafo 4.3 del libro di Abate, terza edizione.)
Esercizi consigliati: 4.32, 4.69 del libro di Abate, terza edizione.
Lezione 15: 10/05/2018 3 ore
Argomento: riepilogo delle tecniche per il calcolo del rango. Calcolo del determinante tramite il metodo di eliminazione di Gauss. Studio di sistemi lineari: teorema di Rouché Capelli per determinare l'esistenza di soluzioni; teorema di struttura delle soluzioni; criterio per stabilire se ci sono una o infinite soluzioni. Metodo di risoluzione all'indietro per trovare esplicitamente tutte le soluzioni. Esempio svolto 4.14
Esercizi consigliati: 4.9, 4.10, 4.12 del libro di Abate, terza edizione.
(Dai paragrafi 4.1, 4.3 del libro di Abate, terza edizione.)
Lezione 16: 16/05/2018 2 ore
Esercizi di riepilogo su sistemi lineari, metodo di eliminazione di Gauss, rango, nucleo, teorema di Rouché Capelli, teorema di struttura delle soluzioni. Esercizi svolti: 4.10, 4.19, 4.20.
Lezione tenuta da Giorgio Ottaviani
Lezione 17: 17/05/2018 2 ore
Esercizi di riepilogo su sistemi lineari, autovalori e autovettori. Equazione parametrica della retta nel piano. Rette parallele, incidenti, sghembe. Esercizi assegnati: 3.36, 3.39, 3.42.
Lezione tenuta da Giorgio Ottaviani
Lezione 18: 23/05/2018 2 ore
Esercizi di riepilogo su sistemi lineari, autovalori e autovettori. Studio dell'insieme delle soluzioni di una equazione in tre incognite.
(Dal paragrafo 3.3 del libro di Abate, terza edizione.)
Lezione 19: 24/05/2018 2 ore
Forma cartesiana e parametrica di un piano nello spazio, passaggio da forma parametrica a cartesiana. Equazione di un piano per tre punti. Direzione perpendicolare a un piano. Posizioni reciproche di due piani. Forma parametrica e cartesiana di una retta nello spazio, passaggio da forma parametrica a cartesiana. Posizioni reciproche di due rette.
(Paragrafi 3.3 e 3.4)
Lezione 20: 30/05/2018 2 ore
Posizioni reciproche di un piano e una retta. Esercizi di riepilogo su piani e rette nello spazio.
Esercizi svolti: 3.57, 3.58, 3.59. Esercizi assegnati: 3.56, 3.60Lezione tenuta da Giorgio Ottaviani
Lezione 21: 31/05/2018 2 ore
Esercizi di riepilogo di Algebra Lineare. Basi. Nucleo e Immagine. Autovalori e autovettori.
Esercizi svolti: 4.54, 4.60 a, b. Esercizi assegnati: 4.53, 4.60 c, d, e.
Lezione tenuta da Giorgio Ottaviani