B005518 (B036) - Geometria e Algebra Computazionale (Curriculum: Generale - C75) 2017-2018
Indice degli argomenti
-
Lezione 1, 28/2/2018
Introduzione al corso. L'anello dei polinomi in n variabili a coefficienti in un campo, è un UFD ed è un anello Noetheriano. Algoritmo di divisione per polinomi in una variabile.
Lezione 2, 2/3/2018
Problema di appartenenza ad un ideale. Ordini monomiali.Lex e GLex.Ogni ordine monomiale è un buon ordinamento.
Introduzione a Macaulay2, esercitazione in laboratorio.
Lezione 3, 7/3/2018
L'algoritmo di divisione. Ideali monomiali e basi di Groebner. Forma normale di un elemento rispetto a un ideale. Criterio di appartenenza a un ideale (quando è nota una base di Groebner)
Lezione 4, 9/3/2018
S-coppie. Criterio di Buchberger per verificare se un insieme di generatori è una base di Groebner. Esercitazione in laboratorio sulla forma normale rispetto a un ideale.
Lezione 5, 13/3/2018
Algoritmo di Buchberger per costruire una base di Groebner. Algoritmo per la forma normale di un elemento rispetto a un ideale. Teorema di eliminazione. Intersezione di due ideali. MCD e mcm.
Lezione 6, 15/3/2018
Esercitazione in laboratorio con Macaulay2 sulle basi di Groebner.
-
Lezione 7 20/03/2018
I(X) come ideale radicale. Varietà algebriche. Topologia di Zariski. Corrispondenza tra ideali e varietà. Enunciato del Teorema degli zeri di Hilbert. V è irriducibile se e solo se I(V) è primo.
Lezione 8, 23/3/2018
Esercitazione in laboratorio con Macaulay2 sul Teorema di Eliminazione.
Lezione 9, 27/3/2018
Il risultante e il discriminante. Il risultante di f,g è combinazione di f,g.
Lezione 10, 4/4/2018
Il teorema di estensione. Nullstellensatz debole e Nuillstellensatz. Dimostrazione del Nullstellensatz, per induzione utilizzando il teorema di estensione.
Lezione 11, 10/4/2018
Il teorema di chiusura. Appartenenza di un elemento al radicale di un ideale. Colorabilità di un grafo, ideale cromatico e algoritmo per determinare la k-colorabilità via basi di Groebner.
Lezione 12, 13/4/2018
Esercitazione in laboratorio su teoremi di eliminazione e di estensione. Evoluta di un'ellisse (vedi file).
Lezione 13, 17/4/2018
Parametrizzazioni polinomiali e razionali. Varietà razionali e unirazionali.
Lezione 14, 20/4/2018
Esercitazione in laboratorio su risultante, discriminante, implicitizzazione di varietà razionali.
Introduzione alla geometria algebrica proiettiva. Ideali omogenei e varietà algebriche proiettive. Nullstellenstaz debole proiettivo.
Lezione 15, 23/4/2018
Nullstellensatz proiettivo. Omogeneizzazione di ideali e chiusura proettiva di varietà. Introduzione alle curve algebriche piane. Molteplicità di intersezione con una retta. Punti singolari e nonsingolari.
Lezione 16, 27/4/2018
Flessi. Curve piane proiettive. Punti nonsingolari, flessi ed Hessiana.
-
Lezione 17, 4/5/2018
Richiami sul polinomio minimo e la diagonalizzabilità di matrici. Criterio effettivo di diagonalizzabilità sui complessi. Matrice compagna, calcolo del suo polinomio minimo e caratteristico. Determinante e traccia di M_(h(x)).
Lezione 18, 8/5/2018
Teorema cinese dei resti in ambito polinomiale, cenni al legame con l'interpolazione. Forma di Killing e matrice bezoutiante, sua espressione con le somme di potenze della radici. Ortogonalità degli addendi del teorema cinese dei resti rispetto alla forma di Killing. Teorema di Sylvester sul numero di radici reali di un polinomio reale e sua dimostrazione.
Lezione 19, 11/5/2018
Esercitazione con M2. File allegati minpoly.m2 (su polinomio minimo) e companion.m2 (su matrice compagna, forma traccia, teorema di Sylvester, interpolazione di Hermite)
Lezione 20, 15/5/2018
Forma traccia B_h dove h è un polinomio, generalizzazione del Teorema di Sylvester contando le radici dove h assume un segno predefinito. Ideali zero-dimensionali. Richiami sulla diagonalizzazione simultanea. Triangolarizzazione simultanea di un insieme di matrici che commutano.
Lezione 21, 18/5/2018
Matrici compagne in piu' variabili. Elementi invertibili nel quoziente per un ideale zero-dimensionale. Autovalori di M_h come valori assunti da h nei punti di V(I). Esercitazione su M2 con i comandi per matrici compagne e forma traccia in piu' variabili.
Lezione 22, 21/5/2018
Decomposizione primaria per ideali zero-dimensionali tramite gli autospazi generalizzati. Molteplicità di un punto per un ideale zero-dimensionale. Legame con la localizzazione. Teorema di Stickelberger (metodo degli autovalori).
Lezione 23, 22/5/2018
Diagonalizzabilità delle matrici compagne è equivalente ad essere I radicale. Autovettori della matrice trasposta e soluzioni. Teorema di Hermite che lega la segnatura della forma traccia con la realtà dei punti di V(I).
Lezione 24, 25/5/2018
Esercitazione in laboratorio con Macaulay2. Equazione con parametro, come varia il numero di soluzioni reali al variare del parametro. Soluzione numerica di un sistema in due variabili con autovalori della trasposta della matrice compagna.
-
-