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  • AVVISI

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    AVVISI:

    L'appello scritto di SETTEMBRE sarà

    Martedì 10 SETTEMBRE

    alle 14:30

    in aula 36 blocco aule Sesto Fiorentino.


  • I Modulo: richiami di aritmetica e probabilità; funzioni

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    Lezione 1: 20/09/2018  3 ore 

    Argomento. Introduzione al corso. Numeri (N, Z, Q, R), scala di grandezza, unità di misura. Notazione scientifica e potenze del 10. Ordine di grandezza. Valore stimato ed errore assoluto. Cifre significative. Errore relativo di una misura; precisione di una misura. Propagazione di errori per la somma di misure (Libro Abate, selezione dai paragrafi da 1.1 a 1.5).


    Lezione 2: 21/09/2018  2 ore 

    Argomento.  Propagazione di errori: somma, differenza, prodotto, reciproco e quoziente di misure positive e comportamento di valori stimati, errori assoluti ed errori relativi. Percentuali. (Libro Abate, selezione dai paragrafi  1.6, 1.7). Esercizi consigliati: da 1.1 a 1.6, da 1.13 a 1.20, da 1.38 a 1.43, da 1.52 a 1.56.


    Lezione 3: 27/09/2018  3 ore 

    Argomento. Probabilità discreta: spazio degli eventi, evento semplice, composto, complementare. Assiomi della probabilità. Eventi indipendenti; probabilità condizionata; frequenze relative; principio base del calcolo combinatorio; distribuzione binomiale. Combinazioni, permutazioni, disposizioni.  (Libro Abate, selezione dai paragrafi  10.1, 10.2, 10.3, 10.4, 10.5, 10.6, 10.8, 10.10, 10.11 come da terza edizione). 


    Lezione 4: 28/09/2018  2 ore 

    Argomento. Probabilità discreta: distribuzione di probabilità, variabile aleatoria, speranza, varianza, deviazione standard. Modello lancio moneta. Analisi di dati sperimentali: media sperimentale, mediana, moda. Test di ipotesi, teorema del limite centrale, distribuzione Gaussiana, test Z.  (Libro Abate, selezione dai paragrafi  11.1, 11.2, 11.2, 12.8, 12.10, 12.11 come da terza edizione).

    Esercizi consigliati: da 10.1 a 10.5.


    Lezione 5: 04/10/2018  3 ore

    Funzioni lineari. Coefficiente angolare. Equazione della retta. Funzioni monotone, crescenti e decrescenti. Massimi e minimi. Insiemi convessi e loro descrizione con disequazioni lineari. Programmazione lineare. Max e minimo si trovano sui vertici di una regione poligonale. Esercizi svolti: 5.1, 5.2, 5.3, 5.17.

    Esercizi consigliati: terminare 5.1, 5.2, 5.17. Lezione tenuta da Giorgio Ottaviani.


    Lezione 6: 05/10/2018  2 ore

    Limiti all'infinito, caso delle funzioni lineari. Esercizi svolti: 5.10, 5.14, 5.19.

    Esercizi assegnati: 5.18. Lezione tenuta da Giorgio Ottaviani.


    Lezione 7: 11/10/2018  3 ore

    Richiami sulla definizione di funzione, iniettività e suriettività; studio del dominio di una funzione: analisi funzioni potenza, denominatori, logaritmo. Studio qualitativo di funzioni potenza. Limiti all'infinito per funzioni lineari e funzioni quadratiche. Asse di simmetria e vertice di funzioni quadratiche. Esercizi svolti: 5.18 ed esempio 5.1, 5.2.

    Esercizio consigliato: 5.33.


    Lezione 8: 12/10/2018  2 ore

    Traslazione del grafico di una funzione parallelamente agli assi coordinati. Richiami sulla classificazione qualitativa delle coniche non degeneri e degeneri. Funzioni razionali: determinazione del dominio di esistenza e limiti ai bordi del dominio. Funzioni lineari fratte: disegno del grafico e asintoti. Funzioni continue: definizione ed esempi. Teorema di Weiersrass: enunciato e discussione di esempi.

    Esercizi consigliati: 5.61, 5.67.


    Lezione 9: 18/10/2018 3 ore

    Introduzione alle funzioni trascendenti; richiamo sui numeri algebrici e trascendenti. Funzioni esponenziali: definizione, dominio di esistenza, limiti al bordo del dominio, disegno del grafico. Esempio 6.1 del libro: definizione di argomento per induzione; interpolazione con funzione esponenziale. Esempio 6.3 del libro: definizione di numero di Nepèro; nozione di rapporto incrementale di una funzione. Funzioni logaritmiche: definizione, dominio di esistenza, limiti al bordo del dominio, disegno del grafico. Richiami sulle proprietà fondamentali dei logaritmi.

    Esercizi consigliati: 5.67, 6.6, 6.31, 6.38.


    Lezione 10: 19/10/2018 2 ore

    Introduzione ai fenomeni periodici e necessità della loro modellizzazione tramite funzioni trascendenti. Richiamo della regola di Ruffini e finitezza degli zeri per le funzioni algebriche. Definizione di angolo orientato; radianti e gradi; definizione di seno e coseno tramite la circonferenza unitaria. Definizioni descrittive di circonferenza, ellisse, parabola e iperbole. Loro caratterizzazione algebrica e caso particolare della equazione della circonferenza unitaria $x^2 + y^2 = 1$. Analisi delle proprietà del seno e suo grafico; analisi delle proprietà del coseno e suo grafico. Relazione fondamentale per il seno e coseno. Dimostrazione della formula di sottrazione per coseno, e delle formule di addizione e duplicazione per seno e coseno. Dimostrazione della formula di prostaferesi per la somma di coseni. Definizione di funzione tangente, suo grafico e proprietà.


    Lezione 11: 25/10/2018 3 ore

    Coseno e seno degli angoli 45, 30, 60 gradi. Coordinate polari. Definizione di arcoseno e arcocoseno, loro dominio di definizione e grafico. Espressione di retta per un dato punto e dato angolo con l'asse delle ascisse usando le funzioni trigonometriche. Esercizi in preparazione del primo parziale scritto.


    Lezione 12: 26/10/2018 2 ore

    Esercizi in preparazione del primo parziale scritto.


    Lezione 13: 08/11/2018 3 ore

    Funzioni sinusoidali: valor medio, ampiezza, periodo, frequenza, frequenza angolare, fase. Esempio 6.12. Polinomi trigonometrici. Le funzioni sinusoidali sono particolari polinomi trigonometrici. Approssimabilità di funzioni periodiche continue con polinomi trigonometrici. Successioni: definizione; successioni in forma esplicita; successioni in forma ricorsiva: successione aritmetica, successione geometrica, successione di Fibonacci. Successioni che ammettono limite o meno. Successioni convergenti e divergenti: definizione rigorosa di limite. Esempi. Successioni monotòne e limitate (definizioni). Successioni monotòne ammettono limite. Successioni monotòne limitate sono convergenti. Successioni monotòne illimitate sono divergenti. Serie: definizione; serie a termini positivi; formula per la serie geometrica. Dimostrazione che la successione $(1 + \frac{1}{n})^n$ è crescente e limitata. Paradosso di Zenone su Achille e la tartaruga.

    Lezione 14: 09/11/2018 2 ore

    Derivata di una funzione. Coefficiente angolare della retta tangente.Derivabile implica continua.

    Derivata di funzioni costanti, lineari, quadratiche.

    Derivata della somma, del prodotto, del quoziente. Derivata di polinomi e di funzioni razionali.

    Esercizi svolti del capitolo sulle derivate: 2, 6 a-d, 7 a-b, 8 a.

    Esercizi assegnati: terminare 6, 7. Fare 8 b. Lezione tenuta da Giorgio Ottaviani.


    Lezione 15: 15/11/2018 3 ore

    Esempi di non derivabilità in un punto di funzioni: sin(1/x), |x|, \sqrt(|x|). La nozione di derivata non sempre coincide con l'interpretazione di retta tangente (esempio della cùspide \sqrt(|x|) ). La unica funzione definita su un intervallo e che risolve il problema: f'=0, f(0)=0 è la funzione nulla; dimostrazione di questo fatto attraverso l'enunciato e la dimostrazione dei teoremi di Lagrange, Rolle, Fermat (condizione necessaria per punti massimi e minimi). Dimostrazione che la derivata del logaritmo in base numero di Nepèro è il reciproco di x. Dimostrazione della formula di derivazione di funzione composta; formula di derivazione della funzione inversa; calcolo della derivata di exp(x). L'unica soluzione del problema: f'=f, f(0)=1  è la funzione f(x)=exp(x).


    Lezione 16: 16/11/2018 2 ore

    Formula di derivazione di funzione potenza e di esponenziale con base reale. Dimostrazione che derivata positiva in un punto implica funzione crescente nel punto. Analisi dei punti di massimo, minimo e flesso orizzontale corrispondentemente allo studio del segno della derivata prima.

    Esercizi svolti (terza edizione): 7.43 a), 7.43 b).

    Esercizi assegnati (terza edizione): 7.14, 7.16, 7.18, 7.33, 7.34.


    Lezione 17: 22/11/2018 3 ore

    Formule di derivazione di sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arcos(x), arctan(x). Derivata seconda e legame con convessità. Definizione di flesso e regola per la sua determinazione mediante segno della derivata seconda. Studio della funzione x^{1/3}, e di sin(x). Regola di de l'Hospital per limiti di forma indeterminata, approssimazione di funzione attorno a un punto con polinomi

    Esempi svolti (terza edizione): 7.20, 7.21, 7.22, 7.23, 7.24, 7.25, 7.26, 7.27.

    Esercizi consigliati (terza edizione):7.43 c), h), i), j); 7.44 a), c); 7.45 a), c), e); 7.56 a), c), e); 7.65 a), c), e).


    Lezione 18: 23/11/2018 2 ore

    Definizioni di funzione infinitesima e infinita in x_0. Definizioni di infinitesimo di ordine superiore/inferiore e infinito di ordine superiore/inferiore. Definizione di "o piccolo" di una funzione infinitesima. Sviluppo e serie di Taylor: retta tangente come polinomio di grado uno che meglio approssima il grafico di una funzione in un punto. Parabola osculatrice.

    Esempi svolti (terza edizione): 7.34, 7.35, 7.36, 7.37.


    Lezione 19:  29/11/2018 3 ore

    Esercizi di preparazione al parziale.

  • II Modulo: calcolo integrale; equazioni differenziali; algebra lineare e geometria analitica


    Lezione 1: 27/02/2019 2 ore

    Definizione di sistema lineare e della sua risoluzione. Coefficienti, incognite, termini noti. Esempi di sistemi senza soluzioni e con infinite soluzioni. Sistemi contenenti parametri e discussione dei casi distinguendo il valore dei parametri. Scrittura di un generico sistema evidenziando la matrice dei coefficienti, il vettore delle incognite e il vettore dei termini noti. Prodotto riga per colonna tra vettori e tra matrici. Moltiplicabilità di matrici. Esempi. Interpretazione di un sistema lineare come equazione matriciale. Sistema omogeneo, sistema compatibile.

    Lezione 2: 20/02/2019 3 ore

    Semplici esempi significativi di sistemi lineari e loro risoluzione. Definizione di matrice a scala, definizione di pivot. Metodo di risoluzione all'indietro di un sistema lineare la cui matrice dei coefficienti è a scala. Somma e sommabilità di vettori si R^n; prodotto di scalare per vettore. Definizioni di prima e seconda operazione elementare che trasformano un sistema lineare in uno equivalente.

    Lezione 3: 01/03/2019 2 ore

    Metodo di riduzione a scala. Esempio svolto: 4.15.

    Esercizi consigliati: 4.1, 4.9.

    Lezione 4: 06/03/2019 2 ore

    Teorema (con dimostrazione) di struttura dei sistemi lineari. L'insieme di tutte le soluzioni di un sistema lineare omogeneo non è mai vuoto ed è un sottospazio vettoriale di R^n (con dimostrazione). Esempi di sottoinsiemi di R^n che sono o non sono sottospazi vettoriali: finiti punti di R^n, retta, primo quadrante di R^2, cono in R^2. Combinazione lineare di vettori e spazio delle combinazioni lineari (Span). Lo Span di vettori è un sottospazio vettoriale.

    Esercizio consigliato: 4.2

    Lezione 5: 07/03/2019 3 ore

    Definizione di sistema di generatori di un sottospazio vettoriale di R^n; definizione di base come insieme di generatori minimale. Teorema di esistenza delle basi (enunciato). Definizione di dimensione di un sottospazio vettoriale di R^n. Classificazione dei sottospazi vettoriali di R^n per dimensioni 0,1,2. Definizione di rango di una matrice. Teorema della dimensione (enunciato). Il rango di una matrice è uguale al rango di ogni sua riduzione a scala (con dimostrazione). Il rango di una matrice a scala è uguale al numero dei suoi pivots (con dimostrazione). Teorema di Rouché Capelli (con dimostrazione). Algoritmo per lo studio di un sistema lineare. Esercizio svolto: 4.14 (e).

    Esercizi consigliati: 4.10, 4.11.

    Lezione 6: 13/03/2019 2 ore

    Nozione di lineare indipendenza di vettori. Un numero k di vettori sono linearmente indipendenti se e solo se la matrice che essi formano ha rango k (con dimostrazione). Interconnessione tra le nozioni di lineare indipendenza, sistemi di generatori, e dimensione. Spazio tridimensionale dei vettori applicati nell'origine ed esemplificazione della nozione di indipendenza lineare in tale contesto.
    Esercizio consigliato: 4.32

    Lezione 7: 14/03/2019 3 ore

    Definizione di coordinate di uno spazio vettoriale rispetto a una fissata base. Definizione generale di coordinate di un insieme di R^n. Esempio di coordinate polari in R^2 \(0,0) Calcolo di lunghezza Euclidea di un vettore di R^2. Calcolo dell'angolo tra due vettori di R^2. Riscrittura di lunghezza e angoli attraverso il prodotto scalare euclideo. Proprietà desiderabili per definire un prodotto scalare: bi-linearità, positiva definizione, e simmetria. Rappresentazione della bilinearità attraverso il prodotto righe per colonne di una matrice; rappresentazione della simmetria in termini di simmetria della matrice; rappresentazione della positiva definizione del prodotto scalare in termini di matrice definita positiva.

    Esercizi consigliati: 3.3, 3.4, 3.5, 3.18.

    Lezione 8: 20/03/2019 2 ore

    Piani nello spazio tridimensionale. Piani in forma parametrica: vettori di giacitura. Piani in forma cartesiana: parametri di giacitura, piano di giacitura. Il piano di giacitura è perpendicolare al vettore dei parametri di giacitura. Passaggio dalla forma cartesiana alla forma parametrica di un piano risolvendo un sistema lineare.

    Esercizio svolto: 3.5; esercizi consigliati: 3.28, 3.29.

    Lezione 9: 21/03/2019 3 ore

    Passaggio dalla forma parametrica alla forma cartesiana di un piano in R^3. Forma parametrica e cartesiana di un piano per tre punti non allineati. Calcolo della posizione reciproca di due piani in forma cartesiana. Calcolo della posizione reciproca di due piani in forma parametrica. Forma cartesiana del piano perpendicolare a una data direzione e passante per un punto. Forma cartesiana di una rette in R^3; retta di giacitura. Forma parametrica di rette in R^3; vettore di giacitura. Passaggio dalla forma cartesiana alla forma parametrica di una retta di R^3. Passaggio dalla forma parametrica alla forma cartesiana di una retta di R^3. Forma parametrica di una retta per due punti distinti. Posizione reciproca di due rette in R^3 date in forma cartesiana: parallele esterne, coincidenti, incidenti, sghembe e loro interpretazione con il rango del sistema lineare corrispondente. Rette nel piano: forma cartesiana e parametrica. Retta nel piano perpendicolare a una data direzione e passante per un punto.

    Esercizi consigliati: 3.32, 3.33, 3.34, 3,35, 3.36 (terza edizione)

    Lezione 10: 27/03/2019 2 ore

    Esercizi di ripasso su sistemi lineari, con parametro o senza, equazioni parametriche e cartesiane di piani e rette.

    Lezione tenuta da Giorgio Ottaviani

    Lezione 11: 28/03/2019 3 ore

    Esercizi svolti: 3.19, 3.16, 4.14a), esercizi da pregressi appelli scritti.
    Rette del piano e piani dello spazio quali grafici di funzioni. Definizione di applicazione lineare tra spazi vettoriali. Fissate una base per lo spazio vettoriale dominio e una base per lo spazio vettoriale codominio, scrittura della trasformazione delle coordinate di vettori tramite una applicazione lineare.
    Esercizi consigliati: 4.38,4.39,4.40

    Lezione 12: 28/03/2019 2 ore

    La composizione G°L di due applicazioni G e L lineari tra spazi vettoriali è una applicazione lineare; la matrice che ne descrive la trasformazione delle coordinate rispetto a fissate basi e il prodotto righe per colonne delle matrici che rappresentano G e L. Applicazioni lineari di uno spazio vettoriale in sé: applicazione identità e corrispondente matrice identità; applicazione nulla e corrispondente matrice nulla. Il prodotto tra matrici quadrate è una operazione non commutativa. Una matrice è invertibile quando è quadrata e il suo rango è pieno. Determinante di matrici 2x2: formula e equivalenza tra determinante non nullo e rango pieno. Formula della inversa di una matrice 2x2 invertibile. Definizione di determinante di una matrice quadrata nxn tramite i pivots di una sua qualsiasi riduzione a scala.
    Esercizio consigliato: 4.60.


    Lezione 13: 03/04/2019 2 ore

    Esercizi di ripasso in vista del terzo parziale.

    Lezione 14: 10/04/2019 2 ore

    Formula di Binet per il determinante del prodotto di due matrici. Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico. Enunciato del teorema spettrale per le matrici simmetriche. Esercizi sul calcolo di autovalori e autovettori per matrici diagonali e matrici 2*2.

    Lezione tenuta da Giorgio Ottaviani

    Lezione 15: 11/04/2019 3 ore

    Sviluppo di Laplace del determinante. Autovettori relativi a autovalori distinti sono indipendenti.Esercizi su autovalori e autovettori. Modellizazione di un fenomeno migratorio tra due poli.

    Lezione tenuta da Giorgio Ottaviani

    Lezione 16: 2/05/2019 3 ore

    Integrale definito e sue proprietà. Primitive e i due teoremi fondamentali del calcolo. Integrale dei polinomi e della funzione esponenziale. Esercizi assegnati per casa: 8.5, 8.7. 8.12.

    Lezione tenuta da Giorgio Ottaviani

    Lezione 17: 8/05/2019 2 ore

    Primitive di funzioni elementari. Integrali di funzioni definite a tratti. Integrazione per parti. Esercizi svolti: 8.13a, b, c, f; 8.14a, 8.18 a, 8.19 a, b. Esercizi assegnati per casa: 8.13 d, e, 8.14b, d, 8.18b, c, d; 8.19 c.

    Lezione tenuta da Giorgio Ottaviani

    Lezione 18: 9/05/2019 3 ore

    Integrazione per sostituzione. Cenno ai fratti semplici. Integrali impropri con intervallo di integrazione infinito. Esercizi assegnati: 8.22 c, e; 8.23 a, c; 8.28 b, c.

    Lezione tenuta da Giorgio Ottaviani

    Lezione 19: 15/05/2019 2 ore

    Integrali impropri con estremi di integrazione dove la funzione non è definita. Media integrale. Calcolo di aree nel piano racchiuse tra grafici. Formula per il volume di un solido di rotazione (vedi file allegato).

    Esercizi svolti: 8.29 a, b. 8.32 a, b; 8.33a. Esercizi assegnati: 8.29 c, 8.32 c, 8.33 b, c.

    Lezione tenuta da Giorgio Ottaviani

    Lezione 20: 16/05/2019 3 ore

    Introduzione alle equazioni differenziali. Dinamica di popolazioni. Equazioni differenziali del primo ordine a coefficienti costanti, metodo di sosituzione. Problemi di Cauchy.

    Esempio svolto della sezione 9.2. Esercizi svolti: 9.2 a b, 9.3 a b e, 9.4 a b e, 9.6,  9.11 a c, 9.12 a d, 9.13 a.

    Esercizi assegnati: 9.2 c d, 9.3 c d, 9.4 c d, 9.11 b d, 9.12 b c.

    Lezione tenuta da Giorgio Ottaviani

    Lezione 21: 22/05/2019 2 ore

    Equazioni differenziali a variabili separabili. Esercizi svolti: 9.13 a, b; 9.19 a, b, c; 9.27 a

    Esercizi assegnati: 9.13c, 9.19d, 9.20d,

    Lezione tenuta da Giorgio Ottaviani

    Lezione 22: 23/05/2019 3 ore

    Cenno ai sistemi lineari di eq. diff. Equaizoni differenziali lineari del secondo ordine. Esercizi svolti: 9.27 c, 9.28a, 9.35a, 9.36a,  9.42

    Esercizi assegnati: 9.27b, 9.28c, 9.35 e, 9.36e, 9.43, 9.44. 9.45

    Lezione tenuta da Giorgio Ottaviani

    Lezione 23: 29/05/2019 2 ore

    Esercizi di riepilogo sulle equazioni differenziali.

    Lezione tenuta da Giorgio Ottaviani