AA 2017/2018

Corso di Laurea triennale in Fisica e Astrofisica

Insegnamento: ANALISI MATEMATICA I

Docenti: Francesca Bucci & Luigi De Pascale

Registro delle lezioni

1^ Settimana

Lun. 18 Sett. 2017 (3 ore) -- De Pascale L.

Presentazione del corso Analisi Matematica I. Programma sintetico, prerequisiti, testi di riferimento (si veda alla voce "insegnamenti" affidati ai docenti nel sito di Ateneo per tutti i dettagli). Orario e organizzazione delle lezioni, piattaforma moodle (esercizi/problemi/approfondimenti, Forum studenti). 

Numeri reali. Assiomi e prime conseguenze: unicità dell'inverso e dell'opposto,  regola di annullamento del prodotto, regola dei segni nel prodotto, ordine dei naturali.  

Concetti di insieme, proposizione: questioni fondamentali ed esempi.

Sottoinsiemi dei numeri reali: numeri naturali, numeri relativi e numeri razionali. Inclusione stretta tra i sottoinsiemi elencati.

Mer. 20 Sett. 2017 (2 ore) -- De Pascale L.

Sunto della lezione precedente e breve discussione di qualche esercizio assegnato. Altri sottoinsiemi dei numeri reali: intervalli aperti, chiusi, semiaperti. Semirette. Intersezioni, unioni e complementi di intervalli e semirette.

Funzioni: dominio, codominio, legge, immagine. Definizione ed esempi. 

Gio. 21 Sett. 2017 (2 ore) -- De Pascale L.

Funzioni iniettive: definizione, definizione equivalente, esempi e controesempi. Funzioni suriettive: definizione, esempi e controesempi. Funzioni bigettive e invertibili: Definizione, esempi e controesempi.

Definizione di potenza con esponente positivo, esponente intero. Quali sono le difficoltà nel definire la potenza con esponente razionale? 

Definizione di estremi superiore ed inferiore, massimo e minimo di un sottoinsieme dei numeri reali. Teorema di esistenza dell'estremo superiore (sup) e dell'estremo inferiore (inf) di un insieme limitato.

 

Ven. 22 Sett. 2017 (2 ore) -- De Pascale L.

Teorema di caratterizzazione del sup o dell' inf di un insieme (dim.) .  Esempi ed esercizi.

L'insieme N dei naturali non è limitato dall' alto. L'insieme Q dei razionali è denso in R. 

Principio di induzione: enunciato e due esempi (somma dei primi n naturali, le potenze con esponente intero sono strettamente crescenti sui numeri positivi). 

La radice quadrata di 2 esiste e non è razionale.

2^ Settimana

Lun. 25 Sett. 2017 (3 ore) -- Bucci F.

Discussione di esercizi/problemi relativi ai temi: logica elementare, principio di induzione, assioma di continuità.

Logica elementare: Proposizioni e predicati; negazione e quantificatori; connettivi logici. L'implicazione. Tabelle di verità. Un esercizio sulla negazione di una frase.

Principio di induzione (richiami). Esercizi: 1. dimostrazione della formula che esprime la somma dei quadrati dei primi n naturali; 2. (per esercizio) la progressione geometrica di ragione q>0, con q diverso da 1.

Estremo superiore ed estremo inferiore di insiemi numerici. Un esercizio.

Mer. 27 Sett. 2017 (2 ore) -- De Pascale L.

L'insieme Q dei razionali non verifica l'assioma dell'elemento separatore. Definizione di radice n-esima e proprietà, definizione di potenza con esponente razionale e proprietà, definizione di potenza con esponente reale.

Gio. 28 Sett. 2017 (2 ore) -- De Pascale L.

Proprietà e grafici intuitivi delle funzioni potenza. Definizione di funzione esponenziale, proprietà, grafico e definizione di logaritmo. 

La funzione |x|, definizione, esempi e proprietà.

Ven. 29 Sett. 2017 (2 ore) -- De Pascale L.

Trigonometria ragionata. Proprietà delle funzioni trigonometriche. Formule e diseguaglianze fondamentali. Equazioni trigonometriche di vari tipi. 

3^ Settimana

Lun. 2 Ott. 2017 (3 ore) -- Bucci F.

Discussione di problemi/esercizi assegnati sui temi:  insiemi numerici, linguaggio delle proposizioni, applicazioni del Principio di induzione, estremi superiore e inferiore (cfr. piattaforma Moodle).

Il valore assoluto: definizione, intorno di centro x_0 e raggio r>0 (richiami). Disuguaglianza triangolare (dim.), stima (dal basso) del valore assoluto della differenza di due numeri reali.

Merc. 4 Ott. 2017 (2 ore) -- De Pascale L. 

Definizione di limite di successione (finito o infinito). Esempi di successioni che hanno limite e calcolo esplicito mediante la definizione. Successioni limitate. Operazioni con i limiti. Prodotto di una successione infinitesima per una limitata.

Esempi trattati: n^k con k intero, 1/n^k, (-1)^n/n, (-1)^n. Combinazioni dei precedenti.

Gio. 5 Ott. 2017 (2 ore) -- De Pascale L. 

Successioni: operazioni con i limiti nel caso uno o entrambi i limiti siano infiniti. Che cosa è una forma indeterminata. Esempi di forme indeterminate. Teoremi di confronto: Permanenza del segno e teorema dei carabinieri.

Esempi trattati: rapporto di polinomi con variabile n, n^k con k reale, sin (1/n). 

Ven. 6 Ott. 2017 (2 ore) -- De Pascale L. 

Esercizio: il limite di sin(1/n)/(1/n).

Successioni monotone. Teorema sul limite delle successioni monotone. Successioni estratte. Caratterizzazione del limite mediante i limiti di estratte. Teorema di Bolzano-Weierstrass.

4^ Settimana

Lun. 9 Ott. 2017 (3 ore) -- De Pascale L. 

Successioni di Cauchy, completezza dell' insieme R dei Reali. Limiti notevoli: a^n, b^(1/n), n^1/n, (n^b)^(1/n), (a_n)^\alpha.

Mer. 11 Ott. 2017 (2 ore) -- Bucci F.

Limiti di successioni (cont.). Limiti notevoli: la radice n-esima di a (a>1), la radice n-esima di n. Definizione di fattoriale. Confronto tra successioni che tendono a + infinito: logaritmi, potenze, esponenziali, n!, n^n. Limite di n/(a^n), limite di n!/(n^n) (limite di a^n/n! per esercizio); 'gerarchia' degli infiniti.
Anticipazione: la formula di Stirling (dim. articolata, approfondimento posticipato).
Successioni asintoticamente equivalenti.

Un paio di risultati noti come "Teoremi di Cesaro", riguardanti successioni a termini positivi: 1. dal limite di a_{n+1}/(a_n) segue il limite di (a_n)^{1/n}; 2. dal limite di a_n segue il limite di (a_1+a_2+...+a_n)/n) (sintesi, cfr. Proposizioni).

Giov. 12 Ott. 2017 (2 ore) -- De Pascale L. 

Funzioni reali di una variabile reale definite su unioni di intervalli (possibilmente infiniti). Definizione di punto di accumulazione. Definizione di limite finito oppure infinito. Esempi: x, sin (x), cos (x), 1/x, 1/x^2. Teoremi di unicità del limite. Teoremi sui limiti di somma, prodotto e rapporto di  funzioni.

Ven. 13 Ott. 2017 (2 ore) -- De Pascale L. 

Teorema di collegamento (anche detto "ponte") tra limiti di funzioni e limiti di successioni. Esempi di non esistenza di alcuni limiti (tra cui il limite in 0 di 1/x). Definizione di funzione continua. Somma, prodotto, rapporto e composizione di funzioni continue. Verifica della continuità di polinomi, funzioni trigonometriche, funzioni razionali, x^\alpha  per \alpha in R.

5^ Settimana

Lun. 16 Ott. 2017 (3 ore) -- Bucci F.

Funzioni continue (richiami): definizione, funzioni elementari continue quali polinomi, funzioni razionali, funzioni trigonometriche, potenze ad esponente reale. La funzione log(x) e' continua in x_0, per ogni x_0>0 (dimostrato). 

Una tabella di limiti notevoli: limite di [sin(x)]/x e di [1-cos(x)]/[x^2], per x che tende a 0 (dimostrato il primo; il secondo per esercizio, con suggerimento: cos(x)=cos[2(x/2)]. 

Limite finito per x che tende a + infinito. La funzione (1+1/x)^x tende al numero di Nepero e, per x che tende a + infinito (dim.). Utilizzo del Teorema di collegamento (tra limiti di funzioni e limiti di successioni). Alcuni limiti notevoli che seguono dal precedente (di particolare rilievo: [log(1+x)]/x tende a 1, per x che tende a 0.

Mer. 18 Ott. 2017 (2 ore) -- De Pascale L.

Teorema degli zeri (per una funzione continua definita su un intervallo limitato e chiuso), primo teorema dei valori intermedi (f assume tutti i valori tra f(z) ed f(b), teorema di Weierstrass, secondo teorema dei valori intermedi.  Esempio: calcolo della radice di 2 a meno di 4 centesimi.

Giov. 19 Ott. 2017 (2 ore) -- De Pascale L. 

Teorema di Weierstrass e teoremi dei valori intermedi generalizzati (per funzioni continue su tutta la retta i cui limiti a $+\infty$ e $-\infty$ siano specifici). 

Funzioni strettamente crescenti su un intervallo: equivalenza tra continuità e suriettività.

L'inversa di una funzione continua su un intervallo è continua. Esempi: arcsin x, arccos x, atctg x.

Ven. 20 Ott. 2017 (2 ore) -- De Pascale L. 

Esercitazione:  Elenco dei limiti notevoli di successione. Applicazione in vari esercizi. Elenco delle funzioni continue "notevoli" e di altri limiti notevoli di funzione. Applicazione in alcuni esercizi. Discussione sulla dipendenza di delta da x nella definizione di continuità (calcolo esplicito per le funzioni sin (x) e (x)^{1/2}).

6^ Settimana

Lun. 23 Ott. 2017 (3 ore) -- Bucci F.

Funzioni continue invertibili. L'operazione di inversione non preserva, in generale, la continuita': esempio. Da ricordare: l'inversa di una funzione f: X ---> R continua e invertibile e' continua se i) X e' un intervallo (eventualmente non limitato), e se ii) X e' chiuso e limitato.

Limiti che coinvolgono la funzione inversa, cambi di variabile. Esercizio (articolato, con vari quesiti).

Primi problemi di massimo/minimo: dati e specifiche del problema, formulazione matematica, determinazione dei valori estremi di un'opportuna funzione di una variabile (qui senza utilizzo di derivate; in generale, si rendono necessarie).

Alcuni limiti (per esercizio).

Mer. 25 Ott. 2017 (2 ore) -- De Pascale L.

Rapporto incrementale come tasso medio di variazione e derivata (limite del rapporto incrementale) come tasso di variazione istantaneo. Funzione derivabile in un punto e in un insieme. Derivabile implica continua. Calcolo delle derivate di funzioni elementari. Derivata della funzione |x| e "continua NON implica derivabile". Derivata di somma, prodotto e rapporto di funzioni. Calcolo delle derivate di combinazioni di funzioni elementari (Polinomi, combinazioni razionali di seni e coseni e polinomi, esponenziali di base e). 

Giov. 26 Ott. 2017 (2 ore) -- De Pascale L. 

Derivata di funzione composta. Derivata di funzione inversa. Calcolo di derivate di funzioni elementari (logaritmo, esponenziale di base a, potenze con esponente reale, radici, funzioni trigonometriche inverse, combinazioni razionali di tutte le funzioni considerate).

 

Ven. 27 Ott. 2017 (2 ore) -- De Pascale L. 

Infinitesimi e definizione di "o piccolo", "O grande" e fortemente (asintoticamente) equivalente. Esempi e relazione con i limiti notevoli già studiati. Riformulazione equivalente del concetto di derivabilità mediante un'approssimazione affine (con dim.). Retta tangente al grafico di una funzione. Teorema di Fermat.

7^ Settimana

Lun. 30 Ott. 2017 (3 ore) -- Bucci F.

Esercizi su: derivata della funzione inversa (in assenza di espressione esplicita della stessa); derivabilita' di funzioni composte, e calcolo di derivate con la regola della catena; derivabilita' della funzione x^alfa in x_0=0, al variare del parametro alfa >0: il valore discriminante alfa=1, corrispettivo geometrico.

Esercizi assegnati: 1. Stabilire per quali x esiste la derivata della funzione log(tg(x^2)) (per tali x, calcolarla). 2. Discutere la derivabilita' in x_0=0 della funzione f(x) che vale xsin(1/x) quando x e' diverso da 0, e tale che f(0)=0. Lo stesso per la funzione g(x) che soddisfa g(0)=0 e che vale (x^2)sin(1/x), per x diverso da 0.

Risultati di rilievo per le funzioni derivabili in un intervallo (oltre al Teorema di Fermat, cfr. lezione precedente): Teorema di Rolle (con dim.), Teorema del valor medio o di Lagrange (con dim.). Le ipotesi del Teorema di Rolle sono `sharp' (ottimali): tre esempi illustrano il fatto che la tesi cade se anche una sola delle ipotesi non e' soddisfatta.

Una conseguenza del Teorema di Lagrange (accennata): "Sia f una funzione a valori reali continua in (a,b), derivabile in (a,b)\{x_0}, e tale che f'(x) ---> l, per x che tende a x_0. Allora f e' derivabile in x_0, e si ha f'(x_0)=l" (dim. procrastinata).
Inoltre, se il limite esiste ma non e' finito, allora f non e' derivabile in x_0. Il fatto che il limite non esista non esclude l'esistenza di f'(x_0) (cfr. esercizio 2. sopra).

Giov. 2 Nov. 2017 (2 ore) -- De Pascale L.

Esercizi sulla derivabilità e sul principio di equivalenza di infinitesimi. Il limite per x che tende a 0 di x^x e di xlog x.  log (n!) e nlog n sono asintoticamente equivalenti.

Ven. 3 Nov. 2017 (2 ore) -- Bucci F.

Conseguenze del Teorema di Lagrange: Caratterizzazione delle funzioni monotone derivabili in un intervallo (test di monotonia, dim.). Funzioni derivabili monotone in senso stretto. Esempi.
Applicazione: il ruolo del test di monotonia nella ricerca di punti di estremo relativo e/o assoluto di una funzione in un sottoinsieme di R.

Esercizio: Qual e' piu' grande tra i numeri e^(pi) e (pi)^e?

8^ Settimana

Lun. 5 Nov. 2017 (3 ore) -- Bucci F.

Conseguenze del Teorema di Lagrange (cont.): Caratterizzazione delle funzioni con derivata nulla in un intervallo. Funzioni con derivata nulla in un sottoinsieme A di R che non sono costanti in A. Primitive: definizione, esempi. Due primitive di una stessa funzione in un intervallo differiscono per una costante.

Esercizio: le primitive di log(|x|), x diverso da 0, costituiscono una famiglia a due parametri.
  
Introduzione alle funzioni iperboliche. La catenaria (si cerchi chainette nel sito mathcurve). Lunghezza di una arco di parabola, formula per la lunghezza (senza dim.), una primitiva di (1+x^2)^{-1/2}.
Coseno, seno, tangente iperbolica: definizione, il perche' dell'aggettivo "iperbolico"; prime proprieta', ovvero simmetria, regolarita', comportamento asintotico per x che tende a + infinito; monotonia. Incidentalmente, si da' la definizione di funzione pari/dispari.

Invertibilita' della funzione sinh(x) in R, la funzione "settore seno iperbolico" (settsinh(x) o sinh^{-1}(x)); calcolo della derivata di sinh^{-1}(x). Poiche' l'equazione sinh(x)=y e' risolubile per ogni y in R, si ha anche l'espressione esplicita della funzione sinh^{-1} y.

Per esercizio: analisi relativa a cosh x, e tanh x.

Mer. 8 Nov. 2017 (2 ore) -- Bucci F.

Funzioni iperboliche (conclusione).
Altre conseguenze del Teorema di Lagrange: Se il limite della derivata esiste (e la funzione e' continua) esiste la derivata nel punto limite. Se il limite della derivata esiste ma e' + o - infinito (e la funzione e' continua), non esiste la derivata nel punto limite.
Esempio di funzione derivabile in R che non appartiene a C^1(R).
Teorema di Cauchy (dim.). Teorema di de l'Hopital (dimostrato nel solo caso 0/0, per x ---> x_0 finito).

Gio. 9 Nov. 2017 (2 ore) -- De Pascale L.

Esercizi su esistenza e molteplicità di soluzioni mediante uso di continuità e monotonia. Uso della monotonia per dimostrare diseguaglianze che coinvolgono l'esponenziale. Il grafico della funzione esponenziale si trova al di sopra della retta ad esso tangente in un punto qualsiasi.

Ven. 10 Nov. 2017 (2 ore) -- Bucci F.

Introduzione alla formula di Taylor. Derivata prima ed approssimazione lineare. Funzioni derivabili n volte in x_0 appartenente ad (a,b), che hanno in x_0 un "contatto di ordine n". Forma dei coefficienti di un polinomio di grado n, centrato in x_0, che ha un contatto di ordine n con f in x_0: polinomio di Taylor associato a f, di grado n, con centro in x_0. Resto o errore.

Sviluppi di Taylor delle funzioni elementari exp(x), sin(x), cos(x) (l'ultimo lasciato per
esercizio).

Sab. 11 Nov. 2017 (3 ore) -- Bucci F. e De Pascale L.

I prova scritta in itinere (su temi affrontati e discussi nelle prime sette (7) settimane).

9^ Settimana

Lun. 13 Nov. 2017 (3 ore) -- Bucci F.

Teorema: formula di Taylor con resto di Peano e resto di Lagrange (dim.).
Proposizione: Unicita' del polinomio di Taylor come polinomio di grado minore o uguale a n che soddisfa un'opportuna formula asintotica (dim. omessa). Derivazione di polinomi di Taylor.

Applicazioni di maggior rilievo della formula di Taylor: calcolo di limiti mediante sviluppi asintotici, approssimazione di numeri, studio della natura di punti stazionari.

Mer. 15 Nov. 2017 (2 ore) -- Bucci F.

Formula di Taylor con resto di Peano e resto di Lagrange (cont.).
Derivazione del polinomio di Taylor (di ordine assegnato) associato ad una funzione composta. (Incidentalmente, si fa pratica con l'algebra dei simboli di Landau. Operazioni con gli o-piccolo: o(g) + o(g) = o(g), c o(g) = o(g), f o(g) = o(fg), o(f) o(g) = o(fg), o(g+o(g)) = o(g).)

Formula di Mc Laurin per la funzione 1/(1-x), e per le funzioni 1/(1+x), 1/(1+x^2), log(1+x), arctg(x) (l'ultimo lasciato per esercizio).

Applicazioni della formula di Taylor: approssimazione di numeri irrazionali. Calcolo di un valore approssimato (razionale) del numero 1/e (reciproco del numero di Nepero), con un errore inferiore a 10^{-3}.

Introduzione alle funzioni convesse. Insiemi convessi in R^n: definizione, esempi. Funzioni (a valori reali) di una variabile convesse in un intervallo I di R: definizione tramite epigrafico, definizione per mezzo dell'immagine di una combinazione (lineare) convessa.

Gio. 16 Nov. 2017 (2 ore) -- De Pascale L.

Combinatorica elementare: Cosa sono e quante sono le k-disposizioni, k-combinazioni, permutazioni di n oggetti. Applicazione: la potenza n-esima di un binomio.

Sviluppo di Taylor della funzione (1+x)^alfa.

Un esercizio standard sull'uso dello sviluppo di Taylor nel calcolo dei limiti.

Ven. 17 Nov. 2017 (2 ore) -- Bucci F.

Funzioni convesse/concave (cont.). Regolarita' delle funzioni convesse in (a,b): i) esistono la derivata destra e sinistra in ogni punto di (a,b); ii) f e' continua in (a,b). Illustrazione del fatto che una funzione convessa in un intervallo I puo' essere discontinua agli estremi di I, o non derivabile in x_0 interno a I.
Fatti equivalenti per le funzioni convesse in un intervallo: "proprieta' del triangolo" (giustificazione grafica); il coefficiente angolare delle corde Phi(x,x_0) e' una funzione crescente in I\{x_0} (dim.).

10^ Settimana

Lun. 20 Nov. 2017 (1 ora) -- Bucci F. e De Pascale L.

Restituzione degli elaborati corretti relativi alla prima prova in itinere dell'11 Nov. 2017, esiti, breve discussione.

Lun. 20 Nov. 2017 (2 ore) -- Bucci F.

Funzioni convesse (cont.). TEOREMI di rilievo per le funzioni convesse in un intervallo (a,b): Se f e' convessa in (a,b) e derivabile in x_0, il grafico "sta sopra" la retta ad esso tangente in (x_0,f(x_0)) (dim.). Ruolo cruciale di questa proprieta' nei problemi di ottimizzazione.
Una funzione derivabile e' convessa in (a,b) se e solo la derivata e' ivi crescente; una funzione derivabile due volte e' convessa in (a,b) se e solo se la derivata seconda e' ivi non negativa (dim.).
Funzioni strettamente convesse/concave in un intervallo.

Esercizio: convessita'/concavita' (stretta) della funzione x^alfa, per x>0, al variare di alfa>0. La convessita'/concavita' e' un ottimo strumento per ottenere stime. Esercizio: dimostrare che cos(x)-1+x^2/2 e' non negativa su R.

Mer. 22 Nov. 2017 (2 ore) -- Bucci F.

Esercizio: derivazione della disuguaglianza di Young

    xy non supera x^p/p+y^q/q per ogni x,y> 0, con p>1, 1/p+1/q=1,  

come conseguenza della disuguaglianza

    u^{1/p} non supera u/p+1/q, per ogni u>0, con p>1, 1/p+1/q=1,

che a sua volta si dimostra sulla base della concavita' della funzione f(u)=u^alfa, u>0, quando 0<alfa<1.

Introduzione all'integrale. Area del segmento parabolico. Funzioni limitate in un intervallo [a,b]: suddivisione (o partizione) D dell'intervallo, somma inferiore s(D,f) e somma superiore S(D,f). Suddivisione D_2 piu' fine di D_1, comportamento delle somme inferiore e superiore rispetto all'inclusione tra suddivisioni. Relazione d'ordine tra somme inferiore e superiore.
Definizione per "f e' integrabile in [a,b]", integrale di f in [a,b]; notazione.

Esempi: 1. Integrabilita' delle funzioni costante, l'integrale di c in [a,b] e' pari a
c(b-a). 2. Esempio di funzione non integrabile: la funzione di Dirichlet.

Giov. 23 Nov. 2017 (2 ore) -- De Pascale L.

Esercizi sul teorema di de l'Hopital: alcuni casi in cui è utile ed alcuni casi in cui un'applicazione non ragionata potrebbe indurre in errore.

Esercizi sullo sviluppo di Taylor: applicazione ad alcuni limiti, discussione sull'annosa domanda: fino a che ordine bisogna sviluppare?

Mix sulle proprietà degli o piccoli.

Studio della funzione (x/x-1)^x.

Ven. 24 Nov. 2017 (2 ore) -- Bucci F.

L'integrale (cont.). La classe delle funzioni integrabili (secondo Riemann) in [a,b].
Criterio di integrabilita' (dim.). Ampiezza di una suddivisione. Somme integrali (alla Riemann) o somme di Riemann. L'integrale di f come limite di somme di Riemann (s.d.). Area del trapezoide sotteso al grafico di f in [a,b], quando f e' integrabile e non negativa.  Proprieta' dell'integrale: linearita', monotonia (dim.), additivita'. Media integrale di f in [a,b], proprieta' della media.

Classi di funzioni integrabili: funzioni continue in [a,b], funzioni limitate e monotone in (a,b), funzioni limitate e continue in [a,b] tranne che in un numero finito di punti.


11^ Settimana

Lun. 27 Nov. 2017 (3 ore) -- Bucci F.

Classi di rilievo di funzioni integrabili. Preliminarmente, si richiama la definizione di funzione uniformemente continua in un intervallo I di R. Esempio: f(x)=1/x non e' uniformemente continua in (0,1) (da provare, per esercizio.). Una funzione lipschitziana in I e' ivi uniformemente continua (per es.). Teorema (di Cantor-Heine): Una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] e' ivi uniformemente continua (dim.).
Teorema (dim.): Una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] e' integrabile (secondo Riemann) in [a,b].

Il calcolo dell'integrale di una funzione integrabile in [a,b]. Integrale orientato. Funzioni integrali. Teorema fondamentale del calcolo integrale (dim.). Le ipotesi del Teorema sono minimali (funzione di Heaviside). Integrale indefinito di f: una qualunque sua primitiva (con lo stesso simbolo, si indica anche la famiglia di tutte le primitive di f).

Mer. 29 Nov. 2017 (2 ore) -- Bucci F.

Il calcolo degli integrali. Calcolo di primitive, esempi elementari: integrale indefinito di x^alfa, alfa in R, ecc.

Metodo di integrazione per parti: dove ha origine, illustrazione mediante esempi.
Integrale indefinito di: log(x), arctan(x), (1+x^2)^{1/2}, (x^2-1)^{1/2} (incidentalmente,
si richiamano le derivate delle funzioni inverse delle funzioni iperboliche).
Formule iterative per l'integrale tra 0 e pi/2 delle funzioni [sen(x)]^n (e [cos(x)]^n) (da concludere, per esercizio).

Introduzione al metodo di integrazione per sostituzione.

Giov. 30 Nov. 2017 (2 ore) -- De Pascale L. 

Completato e concluso lo studio di un grafico di funzione (cfr. scorsa esercitazione).
Nota sull'uso della convessita' per dimostrare una diseguaglianza.

Esercizi di integrazione: funzioni razionali. Discussione sulle costanti nell'integrale indefinito e sul dominio dell'integrando.

Una prima famiglia di funzioni la cui integrazione si riduce a quella di funzioni razionali.

Ven. 1 Dic. 2017 (2 ore) -- Bucci F.

Metodi di integrazione (cont.). Integrazione per parti: L'integrale J_n da 0 a pi/2 della funzione sen^n(x), n=0,1,2,...: successione ricorsiva, derivazione delle formule esplicite per J_{2n} e  J_{2n+1}, semi-fattoriali. Applicazione: formula di Wallis (dim. rimandata) e calcolo di valori approssimati di pi greco.
Integrali indefiniti delle funzioni (x^2+a^2)^{1/2}, (x^2-a^2)^{1/2}, (a^2-x^2)^{1/2} (utile mandare a memoria).

Integrazione per sostituzione: Teorema (dim.). Sostituzioni razionalizzanti: integrale indefinito di R(e^x) se R(u) e' una funzione razionale; integrale indefinito di R(cos x, sin x), ove R(u,v) e' una funzione razionale; integrale indefinito di R(cos^2 x, sin^2 x).
L'integrale indefinito di R(x,(ax^2+bx+c)^{1/2}) (a non nullo) e' riconducibile all'integrale di una tra R(x,(x^2+C^2)^{1/2}), R(x,(x^2-C^2)^{1/2}), R(x,(C^2-x^2)^{1/2}), con C opportuno. Sostituzioni ad hoc per quest'ultime.

12^ Settimana

Lun. 4 Dic.  2017 (3 ore) -- De Pascale L.

Esercizi su integrazione di: Funzioni razionali, funzioni trigonometriche, funzioni irrazionali, combinazioni di esponenziali.

Studio di funzioni integrali non esplicite ed applicazione non elementare del teorema fondamentale del calcolo integrale (Appendice su asintoti di una funzione). 

Mer. 6 Dic. 2017 (2 ore) -- Bucci F.

Motivazione ed applicazione dell'integrale: area del trapezoide sotteso al grafico di una funzione positiva in un intervallo. Area di domini semplici rispetto ad un asse.
Il perche' del termine "settore" per le funzioni inverse delle funzioni iperboliche: calcolo dell'area di un settore iperbolico.

Integrali impropri. Estensioni dell'integrale ai casi di i) funzioni limitate in intervalli non limitati; ii) funzioni definite in intervalli limitati ma non limitate in un intorno di uno degli estremi; iii) funzioni che combinano i casi precedenti.
Definizione nel caso di funzioni definite in una semiretta. Integrabilita' in senso improprio (o generalizzato) delle funzioni 1/x^alfa in [1,infty), al variare di alfa>0; il valore (soglia) alfa=1.

Criterio del confronto (solo enunciato per fine tempo).

Gio. 7 Dic. 2017 (0 ore) -- De Pascale L.

Lezione cancellata per motivi familiari.

Ven. 8 Dic. 2017 (0 ore)

Festa nazionale.

13^ Settimana

Lun. 11 Dic. 2017 (0 ore) --  Bucci F.

Lezione (3 ore) cancellata a seguito di direttive dell'Ateneo (allerta meteo comuni della piana).

Mer. 13 Dic. 2017 (3 ore) --  Bucci F.

Integrali secondo Riemann e generalizzati (cont.). Integrali di funzioni pari o dispari in intervalli simmetrici rispetto all'origine (dim.). L'integrale di una funzione T-periodica in un intervallo di ampiezza pari al periodo T e' invariante rispetto all'intervallo (dim.).

Integrali generalizzati o impropri: analisi e calcolo -- ove possibile -- dell'integrale delle funzioni: exp(-x), x>0; 1/[xlog(x)], x>2; exp(-x^2), x in R.
Criterio del confronto, Criterio del confronto asintotico per funzioni positive su una semiretta [a,infty) (dim.). Esempi: integrabilita' di 1/x-sin(1/x) in (1,infty).

Integrabilita' in senso generalizzato o improprio di funzioni definite in (a,b] non limitate in un intorno destro di a (oppure definite in [a,b) e non limitate in un intorno sinistro di b): definizione ed esempi.
Integrabilita' in senso improprio delle funzioni 1/x^alfa in (0,1] se e solo se alfa<1.
Criteri del confronto e del confronto asintotico (enunciato per esercizio, s.d.).

Funzioni che ammettono primitive che non sono esprimibili in termini di funzioni (cosiddette) elementari: exp(x^2), sin(x)/x, 1/log(x), ecc. (cfr. Approfondimenti: Il Teorema di Liouville). Integrali di Dirichlet e di Fresnel. (Dirichlet) La funzione sin(x)/x e' integrabile in senso generalizzato in (0,infty).

Gio. 14 Dic. 2017 (2 ore) -- De Pascale L.

SERIE NUMERICHE: definizione, somme parziali e limite, carattere di una serie, esempi. Condizione necessaria per la convergenza e controesempio alla sufficienza. Esempi di serie convergenti o divergenti per le quali le somme parziali si calcolano esplicitamente. Le serie convergenti formano uno spazio vettoriale.

Serie a termini positivi: non possono essere indeterminate. Criteri di convergenza: confronto, confronto asintotico, integrale, rapporto e radice n-esima.

Serie usate come esempio a lezione e dunque note: Serie di Mengoli, Serie geometrica, Serie armonica ed armonica generalizzata, 1/k^k, 1/k!, sin(1/k^3), 1/(\sqrt(k+1) +\sqrt(k). 

Ven. 15 Dic. 2017 (2 ore) --  Bucci F.

Serie numeriche (cont.). Il numero di Nepero e coincide con la somma della serie con termine generale a_n=1/(n!), n maggiore o uguale a 0.

Serie a termini di segno variabile. Teorema: Se converge la serie dei valori assoluti |a_n|, allora converge la serie di termine generale a_n. Stima della somma della serie. Serie assolutamente convergenti. Riformulazione dell'enunciato del Teorema: Una serie assolutamente convergente e' convergente.
Un caso di rilievo: serie a termini di segno alterno. Esempi. Il Criterio di Leibniz (dim.).

Serie numeriche dipendenti da un parametro: assegnato un esercizio.

Alcune conclusioni sugli integrali (secondo Riemann e generalizzati). La funzione |sin(x)|/x non e' integrabile in senso generalizzato in (0,infty) (per esercizio).
Una funzione integrale in senso improprio in (1,infty) non ha necessariamente limite per x che tende a +infty. Integrali di Fresnel. (Se pero' la funzione ammette limite L, allora L=0 (per esercizio).)
 
Il Teorema della media integrale (dim.).

14^ Settimana

Lun. 18 Dic. 2017 (3 ore) --  Bucci F.

Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie (EDO). Crescita e decadimento. La famiglia di tutte le soluzioni dell'equazione y'=ky, con k costante diversa da 0. Condizione iniziale associata, problema di Cauchy; unicita' delle soluzioni dei problemi di Cauchy associati.
Forma generale di un'EDO di ordine n. Il caso lineare. L'equazione del I ordine a coefficienti continui y'=a(x)y+b(x): forma chiusa per l'integrale generale (dim.), forma chiusa per l'unica soluzione dei problemi di Cauchy associati (entrambe da memorizzare).

Crescita con disponibilita' limitate: l'equazione logistica. EDO non lineari. EDO del I ordine a variabili separabili (o separate), soluzioni stazionarie. (Da discutere il metodo di calcolo per la determinazione delle altre soluzioni, eventualmente in forma implicita.)

Oscillatore armonico, oscillazioni smorzate e/o forzate. EDO lineari del II ordine. Equazione non omogenea ed equazione omogenea associata. Teorema: "L'insieme delle soluzioni di un'equazione lineare omogenea di ordine n e' uno spazio  vettoriale di dimensione n" (no dim.).
EDO lineari omogenee del II ordine a coefficienti costanti: struttura dell'operatore differenziale, equazione caratteristica. Soluzioni dell'equazione caratteristica, soluzioni linearmente indipendenti dell'EDO; l'integrale generale (famiglia a due parametri). 

Mer. 20 Dic. 2017 (3 ore circa) -- Bucci F. e De Pascale L.

2^ (ed ultima) prova in itinere

Gio. 21 Dic. 2017 (2 ore) -- De Pascale L.

Esercizi sulle serie numeriche. Alcuni esercizi ed esempi sulle equazioni differenziali ordinarie a variabili separabili con e senza condizioni iniziali.

Ven. 22 Dic. 2017 (1 ora) -- Bucci F. e De Pascale L.

Restituzione e discussione degli elaborati corretti (relativi alla prova del 20 Dic. 2017).