B026320 (B117) - MODULO: ISTITUZIONI DI MATEMATICHE - COGNOMI E-M 2018-2019
Attività settimanale
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Lezione del 16/10/2018: Matrici, matrici quadrate, diagonali, triangolari, matrice trasposta, matrici simmetriche. Operazioni tra matrici: somma, prodotto per un numero reale, prodotto righe per colonne. Proprietà delle operazioni tra matrici. Matrice unità e definizione di matrice invertibile. Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà. Esempi ed esercizi
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Lezione del 22/10/2018: righe (o colonne) linearmente indipendenti o dipendenti, combinazioni lineari. Caratteristica di una matrice. Definizione di matrice a scala. Riduzione a scala di una matrice. Rango per righe e rango per colonne. Esempi ed esercizi.
Lezione del 23/10/2018: equazioni lineari e sistemi lineari, sistemi equivalenti. Matrice incompleta e matrice completa di un sistema lineare. Teorema di Rouché-Capelli (con dimostrazione). Teorema di Cramer e regola di Cramer. Metodo di Gauss. Esempi ed esercizi.
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Lezioni sospese per esami.
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Lezione del 05/11/2018: Sistemi lineari omogenei. Inversa di una matrice quadrata. Esercizi sul metodo di Gauss, su sistemi lineari con un parametro, sul calcolo della matrice inversa e sul metodo di Gauss-Jordan.
Lezione del 06/11/2018: Coordinate cartesiane nel piano e nello spazio. Vettori applicati, vettori equivalenti, somma di vettori e prodotto di un vettore per un numero reale, vettori paralleli. Versori degli assi. Punto medio di un segmento. Prodotto scalare e sue proprietà. Definizione di modulo e di versore di un vettore. Coseno dell'angolo fra due vettori. Condizione di ortogonalità tra vettori. Esempi ed esercizi.
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Lezione del 12/11/2018: Prodotto vettoriale e sue proprietà. Area del parallelogramma. Prodotto misto e sue proprietà. Volume del parallelepipedo. Esempi. Vettori di R^2 e R^3 linearmente dipendenti/indipendenti. Combinazioni lineari. Base di R^2 e di R^3. Esempi ed esercizi.
Lezione del 13/11/2018: Equazioni parametriche di una retta nel piano, equazione normale, equazione cartesiana. Esempi. Condizioni di parallelismo e di perpendicolarità tra rette (in forma parametrica e in forma cartesiana). Coseno dell'angolo fra due rette. Coefficiente angolare di una retta. Equazione esplicita della retta. Condizioni parallelismo e di perpendicolarità tra rette in forma esplicita. Fascio di rette per un punto. Esempi ed esercizi.
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Lezione del 19/11/2018: Distanza di un punto da una retta nel piano e tra due rette parallele. Equazioni parametriche della retta nello spazio per un punto e parallela a un vettore, per due punti. Equazioni normali della retta. Equazioni parametriche di un piano per un punto e parallelo a due vettori. Equazione cartesiana del piano. Stella di piani per un punto. Equazione del piano per un punto e perpendicolare a un vettore, per tre punti non allineati. Esempi ed esercizi.
Lezione del 20/11/2018: Condizioni di parallelismo e perpendicolarità fra piani. Equazione cartesiana della retta. Fascio proprio di piani di asse una retta. Condizioni di parallelismo e perpendicolarità fra rette scritte in forma parametrica, in forma normale, in forma cartesiana. Condizioni di parallelismo e perpendicolarità fra piani e rette. Angolo fra due piani, angolo fra retta e piano, angolo fra due rette. Distanza di un punto da un piano e distanza fra piani paralleli. Distanza di un punto da una retta. Esempi ed esercizi.
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Lezione del 26/11/2018: Rette sghembe. Distanza tra rette sghembe. Posizione di tre piani nello spazio. Esercizi su: distanza punto - piano, distanza piani paralleli, distanza retta - piano parallelo, distanza punto - retta, distanza rette parallele, distanza rette sghembe.
Lezione del 27/11/2018: Definizione di spazio vettoriale. Esempi. Definizione di sottospazio vettoriale. Esempi. Combinazione lineare di vettori, vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Vettori generatori. Sottospazio generato da vettori. Definizione di base e di dimensione. Coordinate di un vettore rispetto a una base. Esempi ed esercizi.
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Lezione del 04/12/2018: Definizione di applicazione lineare tra V e W. Definizione di nucleo e immagine. Teorema della nullità più rango (enunciato). Iniettività e suriettività per le applicazioni lineari. Matrice associata a un'applicazione lineare rispetto alle basi scelte. Le colonne generano l'immagine. Endomorfismo di R^n. Cambiamento di base e matrici simili. Esempi ed esercizi
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Lezione del 10/12/2018: Definizione di autovettore e di autovalore. Autospazio. Polinomio caratteristico. Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico. Gli autovalori sono le soluzioni dell'equazione caratteristica. Definizione di matrice (endomorfismo) diagonalizzabile. Esempi.
Lezione del 11/12/2018: La matrice A è diagonalizzabile se e solo se possiede n autovettori linearmente indipendenti (n ordine di A) (enunciato). Ad autovalori distinti corrispondono autovettori linearmente indipendenti. A è diagonalizzabile se e solo se 1) il polinomio caratteristico ha radici reali, 2) la molteplicità dell'autovalore è uguale alla dimensione dell'autospazio.
Esercizi su: calcolo della matrice associata a un endomorfismo di R^3 rispetto alla base canonica. Calcolo del Ker e dell'Im tramite una base e l'equazioni cartesiane. Calcolo del polinomio caratteristico, degli autovalori e degli autospazi tramite una base e le equazioni cartesiane. Calcolo della matrice C che realizza la similitudine di una matrice diagonalizzabile con la matrice diagonale.
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Lezione del 17/12/2018: Base ortogonale e base ortonormale di R^n, matrice ortogonale. Forma matriciale del teorema spettrale reale. Esempi ed esercizi sul teorema spettrale. Cambiamenti di riferimento nel piano: traslazioni e rotazioni. La rotazione è un endomorfismo la cui matrice è ortogonale. Circonferenza ed ellisse come luoghi geometrici.
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Lezione del 07/01/2019: Equazione dell'iperbole e della parabola come luoghi geometrici. Definizione di conica e classificazione. Esempi ed esercizi
Lezione del 08/01/2019: Esercizi di geometria analitica nello spazio, esercizi di algebra lineare, esercizi sulla classificazione delle coniche.
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Lezione del 14/01/2019: Superfici nello spazio, cilindro, cono. Circonferenza come intersezione di una sfera e un piano. Superfici di rotazione. Equazione canonica dell'ellissoide.
Lezione del 15/01/2019: Equazione canonica dell'iperboloide a una e due falde. Equazioni canoniche del paraboloide ellittico e del paraboloide iperbolico. Quadriche degeneri. Esercizi in preparazione della prova parziale.
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Lezione del 21/01/2019: Esercizi in preparazione della prova parziale.
Lezione del 22/01/2019: Esercitazione scritta.
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Lezione del 01/03/2019: I numeri, i numeri reali, assiomi di Dedekind. Applicazioni tra due insiemi. Dominio e codominio. Funzioni reali di variabile reale. Grafico. Immagine. Funzione composta. Esempi. Funzione iniettiva. Funzione suriettiva. Funzione invertibile. Topologia sulla retta. Intervalli. Intorno di un punto. Punti interni, esterni, di accumulazione, di frontiera. Esempi
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Lezione del 07/03/2019: Insiemi aperti e insiemi chiusi di R. Sottoinsiemi di R superiormente (inferiormente) limitati. Definizione di massimo (minimo). Esistenza dell'estremo superiore (inferiore) di insiemi limitati superiormente (inferiormente). Esempi. Funzioni monotone, periodiche. Esempi. Funzioni definite a tratti. Funzioni pari e dispari. Funzioni trigonometriche e loro inverse. Funzione esponenziale e logaritmo.
Lezione del 08/03/2019: Definizione di limite di una funzione reale di una variabile reale. Teorema dell'unicità del limite. Esempi. Teorema della permanenza del segno (con dimostrazione). Teoremi del confronto. Operazioni sui limiti. Limite di una funzione composta. Definizione di limite destro e sinistro. Esempi. Limiti di funzioni monotone.
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Lezione del 14/03/2019: Limiti per x che tende a infinito. Convenzioni sulle operazioni con infinito. Forme indeterminate. Esempi. Funzioni continue in un punto e in un insieme. Operazioni sulle funzioni continue. Esempi di funzioni continue.
Lezione del 15/03/2019: Classificazione dei punti di discontinuità di una funzione. Esempi. Composizione di funzioni continue. Teorema degli zeri con applicazione agli zeri di un polinomio di grado dispari. Teorema dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass. Continuità della funzione inversa. Limiti notevoli con alcune dimostrazioni. Esempi ed esercizi.
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Lezione del 21/03/2019: Asintoti. Definizione di derivata, significato geometrico. Se f(x) è derivabile in un punto allora è continua nel punto (con dimostrazione). Esempi. Calcolo di derivate con la definizione. Derivate successive. Derivata della somma, del prodotto, del quoziente di funzioni derivabili. Derivata della funzione composta, derivata della funzione inversa.
Lezione del 22/03/2019: Derivata delle funzioni trigonometriche e delle loro inverse. Derivata del logaritmo e dell'esponenziale. Definizione di massimo e minimo relativo. Teorema di Fermat. Teorema di Rolle e teorema di Lagrange (entrambi con dimostrazione e significato geometrico). Corollari del teorema di Lagrange. Teoremi di De L'Hòpital.
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Lezione del 28/03/2019: Altre forme indeterminate. Esempi. Relazioni tra segno della derivata e monotonia. Esempi. Relazioni tra derivata seconda e punti di massimo e minimo relativo. Esercizi sui limiti . Esercizi sulla ricerca dei massimi e minimi.
Lezione del 29/03/2019: Convessità e concavità di una funzione, punti di flesso. Relazioni tra il segno della derivata seconda e convessità e concavità. Esempi. Studio del grafico di una funzione. Esercizi sui grafici di funzioni.
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Lezione del 04/04/2019: Cenni sugli infinitesimi. Esempi. Polinomio di Taylor e di Mac-Laurin di secondo grado. Cenni sul polinomio di Mac-Laurin di grado n e sul resto nella formula di Taylor come un infinitesimo di ordine superiore al grado del polinomio. Esempi e esercizi sui grafici di funzioni.
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Lezione del 11/04/2019: Cenni di topologia del piano: Intorni di un punto. Punti interni, esterni, di accumulazione, isolati, di frontiera. Insiemi aperti, chiusi, esempi. Insiemi limitati. Insiemi connessi. Funzioni reali di due variabili reali. Dominio, codominio, immagine, grafico. Funzione restrizione. Funzioni limitate. Linee di livello. Esempi. Definizione di limite , definizione di funzione continua. Esempi.
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Lezione del 02/05/2019: Funzioni di due variabili: Somme, prodotti, quozienti di funzioni continue, teorema sulla continuità della funzione composta. Definizione di punto di massimo e minimo assoluto. Teoremi sulle funzioni continue. Definizione di derivate parziali. Esempi. Funzioni derivate parziali continue. Gradiente. Equazione del piano tangente al grafico di una funzione in un punto. Esempi.
Lezione del 03/05/2019: Teorema della derivata della funzione composta. Esempio. Derivate direzionali. Esempio. La funzione ha il massimo accrescimento lungo la direzione e verso del gradiente. Definizione di max e min relativo. Teorema di Fermat: punti critici, punti di sella. Esempi. Derivate parziali di ordine superiore, teorema di Schwarz. Teorema dell'Hessiano.
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Lezione del 09/05/2019: Massimi e minimi assoluti. Esercizi sulle funzioni di due variabili: dominio, linee di livello, punti critici, massimi e minimi assoluti e vincolati.
Lezione del 10/05/2019: Esercizi di preparazione alla seconda prova parziale.
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Lezione del 16/05/2019: Definizione di integrale definito. Significato geometrico, area del trapezoide. Teorema della media. Proprietà dell'integrale. Funzione integrale. Teorema fondamentale. Definizione e proprietà dell'integrale indefinito. Tabella delle primitive. Integrazione per parti e per sostituzione. Esempi ed Esercizi.
Lezione del 17/05/2019: Integrazione di particolari funzioni con radicali. Integrazioni di funzioni razionali con denominatore polinomio di secondo grado. Domini normali. Aree di domini normali. Esempi ed esercizi
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Lezione del 23/05/2019: Definizione di integrale doppio su un rettangolo. Proprietà. Integrali su insiemi normali o unioni di insiemi normali. Teorema di Fubini (formule di riduzione). Esempi ed esercizi.
Lezione del 24/05/2019: Coordinate polari nel piano. Espressione e calcolo di integrali in coordinate polari. Esempi ed esercizi. Coordinate del baricentro e massa di una lamina piana di assegnata densità. Esercizi in preparazione del compito.
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Lezione del 30/05/2019: Calcolo delle coordinate del baricentro e massa di una lamina piana di assegnata densità. Cenni sulle equazioni differenziali. Esercizi in preparazione del compito parziale.
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Lezione del 3 Giugno 2019: Esercitazione scritta