Topic outline

  • General

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  • AVVISI

  • Qualche info sul corso e sull'esame

    • ORARIO delle LEZIONI: Lu 10:30-13:30, Me 10:30-12:30, Gio 8:30-10:30, Ve 8:30-10:30 (gli orari si intendono per lo più modulati secondo il ``quarto d'ora accademico'', ma potrebbero subire variazioni)

      Le lezioni si volgono di norma al BLOCCO AULE del Polo Scientifico, aula 25.

    • L'esame comprende una parte scritta e una parte orale.

      Per chi frequenta il corso sono disponibili due prove intermedie che, se superate, esonerano dal compito scritto. 

      Durante il compito scritto è possibile tenere libri di testo e appunti: non eserciziari. Non è autorizzato l'uso di supporti elettronici di qualsiasi tipo (ad esclusione degli strumenti compensativi, qualora lo studente ne abbia diritto, in questo caso si vedano più sotto le  modalità per fruirne); non è permesso comunicare tra i candidati. Chiunque violi tali norme comportamentali “sarà escluso dall'esame e segnalato alle autorità competenti al fine delle applicazioni delle sanzioni a carattere disciplinare e penali ai sensi della vigente normativa” (si veda Circolare del Rettore 21/2016).

      Gli studenti che presentano disturbi specifici dell'apprendimento sono pregati di contattare i docenti per stabilire eventuali strumenti compensativi e misure dispensative da adottare. Chiunque necessiti di supporti specifici è pregato di contattare i docenti.

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      Circolare del Rettore 21/2016 File

    • PRECISAZIONI sulla prova ORALE: la prova orale di ciascun studente è una interrogazione che dura circa 30-45 minuti. La prova verte su tutto il programma svolto come: definizioni, enunciati di teoremi e loro dimostrazione, esempi e controesempi, esercizi... 


    • Per gli esami a distanza: l'esame si svolge sulle piattaforme Gmeet o Zoom e verrà inviata opportuna comunicazione agli studenti iscritti per conoscere il link alla prova.

      La consegna dell'elaborato avverrà tramite scansione con dispositivo mobile (smartphone o tablet) inviando il file pdf per email ai docenti. Siete invitati a fare delle prove per ottenere un unico file pdf (dimensione massima 10 Mega) dalla scansione di più pagine e a prendere confidenza con il caricamento del materiale dall'indirizzo email istituzionale. Si ricorda che dovrete fare la scansione senza interrompere il collegamento, e quindi avrete bisogno di un dispositivo diverso da quello con cui siete collegati via webcam. 

       Sarà necessaria una postazione di lavoro isolata da altre persone con:
      - fogli bianchi per la bella copia (non a righe né a quadretti)
      - pennarello/pennarellino/penna a punta grossa di colore NERO
      - un dispositivo munito di webcam posto almeno a 1,5 m da voi che vi riprenda a mezzo busto, riprenda il foglio su cui scrivete, e riprenda lo spazio intorno alla vostra persona. E' indispensabile che facciate delle prove per ottenere la posizione richiesta con lo spazio di lavoro che avete a disposizione. 
      - un dispositivo mobile (smartphone o tablet) per la scansione e l'invio dell'elaborato

      Durante tutto lo svolgimento della prova non deve essere presente nessuna altra persona, anche se di passaggio, nella stanza. La prova durerà tra le 2 e le 3 ore. 
      Oltre che a riferirsi alle presenti istruzioni, si invitano gli studenti a tenere presenti  anche le direttive di ateneo in materia di esami a distanza e a rispettare quanto contenuto.

    • Per gli esami in presenza: chi sceglie la modalità in presenza dovrà presentarsi nell'aula segnalata dai docenti con 10 minuti di anticipo portando con sé: tutto il materiale necessario per sostenere la prova (per la prova scritta: fogli di brutta, di bella, penne ecc... per la prova orale fogli e penna), la tessera studenti per il riconoscimento, un dispositivo per la scansione del compito (smartphone o tablet) che dovrà essere tenuto lontano dalla postazione del compito e con lo schermo rivolto verso il tavolo. Il compito dura 3 ore e sarà richiesta in generale la risoluzione di 4 esercizi. Al momento della consegna lo studente effettua la scansione dei fogli del proprio elaborato (solo la bella copia) e la invia ai docenti secondo le modalità che verranno impartite in aula. Lo studente è invitato a leggere le linee guida del rettore per i comportamenti corretti da seguire in aula. Si ricorda che non è ammesso l'ingresso alle aule senza la mascherina.

  • ESITI PROVE SCRITTE

  • TESTI vecchie PROVE SCRITTE

  • Esercizi

  • Lezioni svolte

    16/09 [Villari  x3] Insieme dei numeri naturali. Assiomi di Peano. Classi di equivalenza e insieme quoziente. Costruzione algebrica dei numeri interi, e isomorfismo degli interi positivi con i naturali, Costruzione algebrica dei numeri razionali, e isomorfismo delle frazioni "apparenti" con i numeri interi. Numerabilità dei numeri interi e razionali. Irrazionalità di radice di due. Costruzione dei numeri reali mediante le sezioni. Cenni su numeri algebrici e numeri trascendenti.

    18/09 [Villari  x2]Definizione assiomatica dei numeri reali. L'assioma di continuità e sue conseguenze.  Definizione di  maggiorante, minorante, massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme di numeri reali. Esistenza di sup ed inf per ogni insieme di numeri reali. Valore assoluto. Distanza. Intorni. Cenni su Norma, Metrica e Topologia

    19/09 [Villari  x2] Assioma di Archimede, Esistenza di un numero razionale compreso fra due numeri reali qualsiasi. Zeri di un Polinomio. Esistenza ed unicità della radice-ennesima aritmetica

    20/09 [Villari  x2]Topologia della retta. Insiemi aperti e loro proprietà. Insiemi chiusi. Punti di accumulazione. Caratterizzazione degli insiemi chiusi mediante i punti di accumulazione. Chiusura di un insieme. Derivato di un insieme. Il Teorema di Bolzano Weierstrass.

    23/09 [Villari  x3] Successioni. Definizioni ed esempi. Limite di una successione. Sucessioni  limitate, convergenti, divergenti. Unicità del limite. Algebra dei limiti. Esercizi.

    25/09 [Villari  x2] Teorema dei carabinieri, Teorema di permanenza del segno. Successioni monotone. Teorema di Cauchy. Esempi. Cenni sul numero e

    26/09 [Villari  x2] Successioni per ricorrenza. Calcolo dei possibili limiti mediante i punti fissi L=f(L). Esistenza del limite mediante i risultati sulle successioni monotone. Discussione sulla successione per ricorrenza "Campo minato".

    27/09 [Bianchini x 2] sciopero

    30/09 [Bianchini x 3] Esercizi su estremo superiore e inferiore; principio di induzione; verifica di limiti di successione.

    02/10 [Villari  x2] Esercizi sulle medie aritmetiche e geometriche. Criterio del rapporto. Criterio della radice. Criterio del rapporto-radice e sua applicazione. Cenni sulla mitica formula di Stirling.

    03/10 [Villari x2] Ancora sul criterio rapporto radice e sue applicazioni. Serie numeriche: definizione, convergenza e prime proprietà. Condizione necessaria per la convergenza. Serie a termini positivi. Enunciato dei criteri di convergenza.

    04/10 [Bianchini x2] Esercizi ed esempi sulle successioni numeriche: calcolo e verifica di limiti.

    07/10 [Villari x3] Successioni e topologia. Insiemi compatti, Massimo e minimo limite. Il Teorema di Heine Borel. Successioni di Cauchy. Completezza di IR

    09/10 [Villari x2] Serie a termini positivi. Criteri del confronto, confronto asintotico, rapporto e radice. Esempi ed applicazioni

    10/10 [Villari x2]. Convergenza incondizionata. Controesempi per cui non vale la proprietà communtativa. Il criterio di condensazione e sua applicazione alle serie armoniche. Serie a segni alterni, teorema di Leibniz

    11/10 [Bianchini x2] Esercizi ed esempi su successioni definite per ricorrenza e serie numeriche.

    14/10 [Villari x3] Esercizi di ricapitolazione su successioni e  e serie numeriche.

    16/10 [Villari x3] Funzioni da IR in IR. Dominio e immagine. Funzioni iniettive e suriettive. Funzioni monotone. Definizione di limite. Teorema di collegamento e sue conseguenze. Esercizi.

    17/10 [Villari x2] Ancora sulla definizione di limite. Limiti nevoli: sinx/x  e 1-cos^2(x)/x^2. Definizione di "o-piccolo" e sue proprietà.

    18/10 [Bianchini x2] Esercizi ed esempi sulla composizione di funzioni e sulle funzioni inverse. Le funzioni trigonometriche inverse.

    21/10 [Villari x3] Restrizioni. Limite dx e limite sx. Funzioni continue: definizione e primi esempi. Thm di esistenza degli zeri. Thm dei valori intermedi. f continua da [a,b] in [a,b] ammette almeno un pto fisso. F continua trasforma intervalli in intervalli. Esistenza di max/min per funzioni continue. Il Thm di Weierstrass.

    24/10 [Villari x2]. Funzioni uniformemente continue. Il Thm di Cantor. f uniformemente continua in (a,b) implica f limitata. Esercizi.

    25/10 [Bianchini x2] Esercizi ed esempi su limiti di funzioni; funzioni Lipschitziane e uniformemente continue. Introduzione ed esempi sul simbolo di "O grande".

    28/10 [Villari x3] esercizi sui limiti di funzioni, anche usando solo la definizione

    30/10 [Villari x3] Derivata di una funzione. Definizione e prime proprietà. Esrcizi

    04/11 [Villari x3] Massimi e minimi relativi e assoluti. Teorema di Fermat. Teorema di Rolle e sue generalizzazioni. Teorema di Lagrange e sue applicazioni. Funzioni lipschitziane, contrazioni.

    06/11 [Villari x2] Teoremadi Cauchy. Operazioni con le derivate. Derivata di un prodotto, di un quoziente. Derivata della funzione composta.

    08/11 [Villari x3] Derivata della funzione inversa. Applicazioni: derivata di arctgx, lnx, e^x.

    11/11 [Villari x3] [Bianchini x3] Prima prova parziale

    13/11 [Villari x2] Correzione esercizi 3 e 4 del primo parziale.

    14/11 [Villari x2] Correzione esercizi 1 e 2 del primo parziale.

    15/11 [Villari x2]. Introduzione alla teoria dell'integrazione. Partizioni, Somme integrali Per difetto e per eccesso Definizione di funzione integrabile. Esempio di funzione non integrabile.

    18/11 [Villari x3] Condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità di una funzione.  Le funzioni continue sono integrabili. Le funzioni monotone sono integrabili. L'integrale è miope: posso cambiare il valore della funzione in un numero finito di valori senza alterare il valore dell'integrale. Generalizzazioni.  Brevi cenni sulla misura di Peano-Jordan e quella di Lebesgue.  Insiemi trascurabili.

    20/11 [Villari x2] Il teorema della media integrale.- Il teorema fondamentale del calcolo integrale. La formula di Newton leibnitz. Applicazioni al calcolo degli integrali definiti.

    21/11 [Bianchini x2] Esercizi su studio di funzione (con valore assoluto); esercizi su continuità e regolarità  (funzione integrale e funzione inversa).

    22/11 [Villari x2]  Esempi di funzioni integrali non derivabili. Integrali immediati . Primi esercizi sulla ricerca di primitive.

    25/11 [Villari x3] Restituzione elaborati prima prova parziale e discussione sui risultati. Integrazione per parti. Esercizi ed applicazioni.

    27/11 [Villari x2] Integrali per sostituzione. Discussione sull'uso della formula. Quando occorre che Fi(t) sia invertibile?  Esercizi ed esempi.

    28/11 [Bianchini x 2] Concavità e convessità: definizione; caratterizzazione della convessità tramite il rapporto incrementale; Criterio di convessità per funzioni derivabili (con dim); Criterio di convessità per funzioni 2-volte derivabili (con dim). Intervalli di concavità/convessità. Esempi.

    29/11 [Villari x2] Integrazione di funzioni razionali. Il metodo dei fratti semplici. Il caso del polinomio a radici complesse. Esempi ed esercizi.

    02/12 [Villari x3]. Ancora sull'integrazione per sostituzione. Sostituzioni trigonometriche. Integrali irrazionali. Lo zoo degli integrali di funzioni razionaloidi. "mostri" ed integrali "orribili". Cenni sull'integrazione di differenziali binomi e sul teorema di Cebicev. Esercizi

    04/12 [Villari x2] La regola de l'Hopital. Dimostrazione in forma "soft" e forma "hard". Uso ragionato della formula. Esempi ed esercizi.

    05/12 [Villari x2]  La formula di Taylor. Posizione del problema. Il resto in forma di Peano. Un lemma fondamentale. La formula di Mc Laurin. Primi esempi di sviluppo. Condizioni per l'analiticità. Cenni sulla serie di Taylor

    06/12 [Bianchini x2] Esercizi vari

    09/12 [Villari x3] Applicazioni della formula di Taylor. Teorema sul calcolo di Max/min/flessi di una funzione quando le prima n derivate siano nulle. . Il resto in forma di Lagrange. Esercizi

    11/12 [Villari x3]. Applicazioni del resto in forma di Lagrange. Approssimazioni di valori di una funzione.Calcolo della radice di e a meno di 4 uno su diecimila.

    12/12 [Bianchini x2] Esercizi vari

    13/12 [Villari x2]. Esercizi con l'uso della formula di Taylor. Approssimazione di integrali. esercizi sulle funzioni analitiche.

    016/12 [Villari x3]. Riepilogo sulsignificato della formula di Taylor, sui vari tipi di resto e la loro applicazione. Esercizi sugli integrali impropri. Un teorema che collega la convergenza di un integrale improprio a quello della serie numerica  il cui termine ennesimo è il valore della funzione integranda calcolato in n

    019/12 [Villari x3] Seconda prova parziale