B020979 (B077) - ANALISI MATEMATICA PER LA DIDATTICA (CURRICULUM: DIDATTICO - E24) 2018-2019
Topic outline
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La pagina web "Didattica del Calcolo Differenziale e Integrale'', curata da Gabriele Bianchi (link) contiene materiale di interesse per questo corso.
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- J.V. Grabiner, The changing concept of change: the derivative from Fermat to Weierstrass, Mathematics magazine 56 (1983). http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/the-changing-concept-of-change-the-derivative-from-fermat-to-weierstrass
- Esempio di funzione continua ma mai derivabile, originalmente creata da Weierstrass.
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- Costruzione assiomatica dei numeri reali [1]
- Assiomi di Peano dei Naturali [1]
- N, Z, Q come sottoinsiemi di R [1]
- La costruzione dei reali a partire dai naturali: da N a Z a Q a R [2]
- Reali e continuità: il teorema degli zeri [1]
- Rappresentazione decimale dei numeri reali [1]
- Irrazionalità di π [2]
- Il numero di Nepero [2]
- Cardinalità [3]
Bibliografia: [1] E. Giusti, Analisi Matematica 1; [2] Duren "Invitation to Classical analysis"; [3] Folland "Real Analysis".
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Dal Libro "Real Analysis" di Folland
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Dal libro "Invitation to classical analysis" di P. Duren.
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- Modelli tratti dalle scienze applicate o dalla quotidianita' associati o associabili a ciascuna funzione elementare
- Dell'articolo di Kleiner fanno parte del programma di esame solo le sezioni 1,2,3,4,5 e quanto viene detto nell'ultima sezione a riguardo della definizione di funzione data da Bourbaki.
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Capitolo 6 e sezione 2 del capitolo 10 del libro C. H. Edwards, The historical development of the calculus, Springer (disponibile in biblioteca)
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- Definizione di derivata che non usa il concetto di limite: pagg.ix–xii e cap. 2
- Equivalenza tra quella definizione e quella ordinaria
- Crescenza in un punto e suo legame con la crescenza in un intervallo: pagg. 62-69
- Definizione di derivata che non usa il concetto di limite: pagg.ix–xii e cap. 2
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- Integrazione alla Riemann e integrazione alla Darboux: definizioni e loro equivalenza
- E’ possibile semplificare la definizione restringendo la classe delle partizioni, ma non troppo per evitare il rischio di ottenere un integrale diverso (ad esempio se si prendono solo partizioni equispaziate e si valuta la funzione sempre negli estremi destri)
- Esempi: la funzione di Dirichlet (funzione caratteristica dei razionali in ) non è integrabile; la funzione su definita come se (con e coprimi) e altrove è discontinua esattamente nei razionali ed è integrabile
- Presentare agli studenti metodi di integrazione approssimata (punti medi, trapezio, Simpson) e almeno un risultato di stime degli errori. Non concentrarsi troppo sull’ampliare la classe di funzioni di cui si riesce a scrivere esplicitamente la primitiva. Quest’ultimo è solo un aspetto dell’integrazione e non deve assumere una importanza sproporzionata. Si deve far capire agli studenti che l’integrale non è un concetto difficile;
- Teorema fondamentale del calcolo e sua trasposizione ”applicata” : la variazione totale tra e di una grandezza è uguale all’integrale tra e della velocità istantanea di variazione di quella grandezza.
- Una funzione e' integrabile secondo Riemann/Darboux se e solo se la misura di Lebesgue dell'insieme dei suoi punti di discontinuita' e' nulla (Non e' richiesta la dimostrazione. Se siete interessati potete trovare la dimostrazione nella Sezione 3.5 del libro W.F. Trench, Introduction to Real analysis)
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Argomenti:
--Funzioni continue.
Partendo dalla definizione definizione di limite finito per x che tende ad x_0 finito trattare tutta la parte sulla continuita' fino ai teoremi degli zeri e di Weierstrass (compreso.
--Derivate
Dal concetto di derivata fino alla caratterizzazione della crescenza e decrescenza in termini di segno di f'. (NON trattare ricerca di massimi e minimi tramite derivata, disegno del grafico di una funzione e tutti le altri argomenti che vanno sotto il nome di''applicazioni della derivata'')
Esempi: Significato geometrico e fisico della derivata; Derivabilità e continuità, esempi di non derivabilita', Passaggio dalla derivata in un punto alla derivata come funzione, Calcolo delle derivate)
--Integrali
Dall'introduzione del concetto di integrale fino al concetto di primitiva e al primo teorema fondamentale del calcolo (integrale = primitiva calcolata agli estremi) NON trattate la funzione integrale, l'integrazione per parti e per sostituzione
Introduzione ai metodi di calcolo di un integrale. Primitiva e integrale indefinito. Due primitive di una stessa funzione differiscono per una costante (dim.). Primo teorema fondamentale del calcolo.
Per il livello di approfondimento e di ''difficolta' tecnica'' da raggiungere fate riferimento alle indicazioni nazionali del Ministero (esistono per i licei scientifici e per il gruppo liceo linguistico-classico).
Vi dividete in tre gruppi e ogni gruppo prepara un argomento.
Vi chiediamo di preparare una traccia delle cose che pensiate vadano dette a lezione. Vi chiediamo di inserire per esteso le definizioni e i teoremi. Di inserire accenni ai commenti che volete fare. Di elencare tutti gli esempi che volete presentare e, solo per quelli il cui svolgimento e' piu' complesso, anche il loro svolgimento. Vi chiediamo di indicare in dettaglio gli esercizi che intendete assegnare agli studenti.
Questa traccia puo' anche essere scritta a mano (in modo leggibile)
Tenete a mente che si deve cercare di creare la ''concept image'' dei concetti.
E' apprezzato e valutato positivamente il fatto che ogni percorso, preveda una attivita' di tipo laboratoriale.
l'elaborato di ogni gruppo deve essere preparato e discusso in gruppo e non suddiviso. Ogni membro del gruppo e' responsabile dell'intero elaborato e non di una sua parte.
Ad ogni argomento verranno dedicate due ore. Ognuno di voi selezioni e si prepari a presentare 5 minuti a testa di lezione da mostrare alla lavagna. Si prepari poi a riferire sulle parti che noi chiederemo ad ognuno. -
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Sono le sette pagine che mi ero preparato come promemoria per gli incontri fatti.
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