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  • Introduzione

    Il corso di Topologia Differenziale, a causa dell'emergenza Covid-19 si sta svolgendo interamente a distanza nel modo seguente: la docente prepara in anticipo le note per ogni lezione, sono note informali, che sostituiscono quanto si scriverebbe in diretta alla lavagna. Per le lezioni, che mantengono il carico orario settimanale previsto, si utilizza meet, sono incontri in diretta tra docente e studenti, in cui la docente, utilizzando le note condivise con gli studenti, spiega, aggiungendo motivazioni, esempi e tutto quanto emerge dalla interazione docente-studenti.

  • Note per lezioni online

  • Registro delle lezioni

    1. 25.02.2020 (ore 2).
      Introduzione al corso.Richiami di topologia generale: definizione di topologia di un insieme, base di aperti per una topologia, spazio topologico a base numerabile, di Hausdorff. Topologia prodotto.Applicazioni continue. Omeomorfismi.

      Riferimenti:

      Loring W. Tu,  An Introduction to Manifolds, Universitext, 2011 Springer-Verlag New York, Appendice A, Point Set Topology
      Un riferimento classico ed esaustivo per la topologia generale e' il seguente:
      James Munkres, Topology, 2nd Edition, Pearson, 2000 ( prima edizione del 75)
      Anche i primi due capitoli del libro seguente sono un ottimo riferimento, ricco di esempi ma anche piuttosto sintetico:
      I.M. Singer, J.A. Thorpe,Lecture Notes on Elementary Topology and   Geometry, Undergraduate Texts in Mathematics, 1967, Springer-Verlag New York

    2. 03.03.2020 (ore 2).
      Richiami di topologia generale. Topologia quoziente. Mappa indotta sul quoziente. Esempi di applicazioni continue. Esempi di spazi quozienti tra cui la retta proiettiva reale e R/Z, entrambi omeomorfi a S1. Compatti. Esempi. Applicazioni continue mandano compatti in compatti. Un chiuso in un compatto e' compatto. Un compatto in uno spazio Hausdorff e' chiuso. Un sottoinsieme di Rn e' compatto se e solo se e' chiuso e limitato (senza dimostrazione).

      Riferimenti::
      Come per la lezione precedente.

    3. 12.03.2020 (ore 2).
      Richiami di topologia generale. Spazi topologici connessi. Chiusura di un insieme, punti di accumulazione. La chiusura di un insieme A e' l'unione di A e dei punti di accumulazione di A. Convergenza di una successione. In uno spazio di Hausdorff il limite di una successione, se esiste, e' unico.
      In uno spazio a base numerabile un punto sta nella chiusura di un insieme A se e solo se e' il limite di una successione di punti di A (l'implicazione inversa e' vera in generale).
      Termina qui la parte di richiami di topologia generale.
      Omotopia: mappe omotope, spazi topologici omotopicamente equivalenti, spazi contrattili. Rn e' contrattile.

      Riferimenti::
      Testo di riferimento per la parte sull'omotopia: I.M. Singer, J.A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Topology and   Geometry, Undergraduate Texts in Mathematics, 1967, Springer-Verlag New York.

    4. 17.03.2020 (ore 2).  Gruppo fondamentale. In sintesi: cammino, spazio topologico connesso per archi, connesso per archi implica connesso, prodotto di due cammini, inverso di un cammino, cammini omotopi.Definizione di primo gruppo di omotopia o gruppo fondamentale di uno spazio topologico X con punto base x0.  Teorema: In un spazio topologico connesso per archi, gruppi fondamentali rispetto a due punti base distinti, p e q, sono isomorfi, l'isomorfismo dipende dalla classe di omotopia scelto per congiungere p e q. Teorema: Gruppi fondamentali di spazi topologici connessi per archi e omotopicamente equivalenti sono isomorfi. Corollario: Uno spazio contrattile ha gruppo fondamentale banale.
      Definizione di spazio localmente connesso per archi. Localmente connesso per archi non implica connesso per archi. Connesso per archi non implica localmente connesso per archi.
      Definizione di semplicemente connesso. Definizione di localmente semplicemente connesso. La sfera è semplicemente connessa. Esempio di rivestimento ed esempi: R riveste S1     

    Testo di riferimento: I.M. Singer, J.A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Topology and   Geometry, Undergraduate Texts in Mathematics, 1967, Springer-Verlag New York.

    5. 19.03.2020 (ore 2).   Definizione di spazio di rivestimento. Altri esempi:  S2 riveste P2(R), esempio di rivestimento doppio, R2 riveste il toro S1xS1. Definizione di rivestimento universale. Esistenza del rivestimento universale per spazi connessi per archi, localmente connessi per archi e localmente semplicemente connessi. Relazione tra rivestimento universale e gruppo fondamentale. Omologia simpliciale: definizione di simplesso, chiuso e aperto. Definizione di complesso simpliciale. Cenno al gruppo fondamentale di un complesso simpliciale. Simplessi orientati, l-catene.

    Testo di riferimento: I.M. Singer, J.A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Topology and   Geometry, Undergraduate Texts in Mathematics, 1967, Springer-Verlag New York.

    6. 24.03.2020 (ore 2). Mappa bordo dalle (l+1)-catene alle l-catene. Definizione di omologia di un complesso simpliciale. Esempi: omologia e primo gruppo fondamentale del triangolo "pieno" e "vuoto", omologia e primo gruppo fondamentale di due triangoli "vuoti" attaccati per un vertice. Il primo gruppo di omologia e' l'abelianizzato del primo gruppo di omotopia.  Altri esempi. Teorema di Brower: ogni applicazione continua dal disco chiuso in se' ha un punto fisso.

    Testo di riferimento: I.M. Singer, J.A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Topology and   Geometry, Undergraduate Texts in Mathematics, 1967, Springer-Verlag New York.

    7. 26.03.2020 (ore 2). Numeri di Betti di un complesso simpliciale, caratteristica di Eulero. Caratteristica di Eulero in funzione dell'f-vettore (f0,...,fi,...,fn) di un complesso simpliciale K (fi numero dei simplessi di dimensione i in K). L'esempio delle superfici connesse, chiuse e orientabili. Richiami di algebra multilineare. Sia V uno spazio vettoriale reale. Definiamo lo spazio duale V*, lo spazio vettoriale, Trs(V), dei tensori covarianti di ordine r e controvarianti di ordine s, di dimensione nr+s su V. Restringiamo la nostra attenzione ai tensori COVARIANTI. Una applicazione lineare F* da V a W, definisce una mappa F*: Tr(W) ---> Tr(V). Tensori simmetrici e alternanti. Permutazioni. Simmetrizzatore, alternatore e loro proprieta'. Prodotto tensoriale e proprieta'. Prodotto esterno e proprieta'.

    Testi di riferimento: per la parte di omologia simpliciale, come per la lezione precedente. Per la parte di algebra multilineare ad esempio W. M. Boothby, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian Geometry, Mathematics 120, Academic Press, 1986 (ottimo riferimento per le varieta' differenziabili e per la geometria Riemanniana, molto chiaro, dettagliato e ricco di esempi).

    8. 31.03.2020 ( ore 2).  Definizione di varieta' topologica e di varieta' differenziabile. Esempi. Spazio tangente in un punto p come spazio di derivazioni sui germi di funzioni liscie in p.  Basi coordinate. Derivazioni e curve

    Riferimenti: L. W. Tu: An introduction to Manifolds, Universitext, Springer, second edition, 2011. Per una discussione sui germi vi segnalo questa pagina: https://math.stackexchange.com/questions/1995049/is-there-a-relationship-between-germs-and-taylor-coefficients

    9. 2.04.2020 (ore 2). Differenziale di una applicazione tra due varieta' e sue proprieta'. Differenziale di una funzione, come 1-forma, e sua espressione locale.

    Rifermenti: come la lezione precedente.

    10. 7.04.2020 (ore 2) Forme differenziali in Rn, complesso e coomologia di de Rham per n=0 e n=1.

    Rifermenti: come la lezione precedente.

    11. 9.04.2020 (ore 2) Pull-back di una forma differenziale, sua espressione locale. Differenziale e pull-back commutano. Enunciato del Lemma di Poincaré.

    Rifermenti: come la lezione precedente.

    12. 14.04.2020 (ore 2) Dimostrazione del Lemma di Poincaré: la coomologia di Rn. Fibrato tangente, struttura di varieta' differenziabile, banalizzazione locale, proprieta' di fibrato vettoriale, funzioni di transizione.


    Riferimenti::
    Testi di riferimento: per il Lemma di Poincare' R. Bott, L. W. Tu Differential Forms in Algebraic Topology, GTM 82, Springer-Verlag 1982. Per il fibrato tangente: L. W. Tu: An introduction to Manifolds, Universitext, Springer, second edition, 2011.

    13. 16.04.2020 (ore 2) Fibrato cotangente: struttura di varieta' differenziabile, banalizzazione locale, funzioni di transizione, proprieta' di fibrato vettoriale. Campi vettoriali e forme differenziabili, come sezioni e definite come collezione di campi/forme locali: da locale al globale.

    Testi di riferimento: Per i fibrati: L. W. Tu: An introduction to Manifolds, Universitext, Springer, second edition, 2011.

    14. 21.04.2020 (ore 2)  Il differenziale e il prodotto wedge sono definiti sulle forme differenziabili su M. Il pull-back f* di una applicazione f liscia da N in M. La coomologia di de Rham di una varieta' liscia M.
    Definizione di partizione dell'unita'. Esistenza di una partizione dell'unita' subordinata a un ricoprimento aperto (senza dimostrazione). Partizione dell'unita' a supporto compatto relativa a un ricoprimento aperto.
    La successione di Mayer-Vietoris: introduzione.

    Testi di riferimento:  L. W. Tu: An introduction to Manifolds, Universitext, Springer, second edition, 2011. Per la parte su partizione dell'unità e Mayer Vietoris: R. Bott, L. W. Tu Differential Forms in Algebraic Topology, GTM 82, Springer-Verlag 1982.

    15. 23.04.2020 (ore 2) La successione di Mayer-Vietoris per il calcolo della coomologia di de Rham. Esempio: la coomologia di de Rham di S1.

    Testi di riferimento:   R. Bott, L. W. Tu Differential Forms in Algebraic Topology, GTM 82, Springer-Verlag 1982.

    16. 28.04.2020 (ore 2)  M e MxR hanno la stessa coomologia di de Rham (dimostrazione analoga al lemma di Poincare', con operatore di omotopia). Mappe omotope inducono la stessa mappa in coomologia. Due varieta' sono omotope in senso C-infinito se e solo se sono omotope. Due varieta' omotopicamente equivalenti hanno la stessa coomologia di de Rham. Definzione di varieta' contrattile e di retratto di deformazione e relative osservazioni sulla coomologia.

    Testi di riferimento:   R. Bott, L. W. Tu Differential Forms in Algebraic Topology, GTM 82, Springer-Verlag 1982.

    17. 30.04.2020 (ore 2) Varietà orientabili,  integrazione du varietà, teorema di Stokes e teorema di de Rham.

    Riferimenti: R. Bott, L. W. Tu Differential Forms in Algebraic Topology, GTM 82, Springer-Verlag 1982, e, per il teorema di de Rham, I.M. Singer, J.A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Topology and   Geometry, Undergraduate Texts in Mathematics, 1967, Springer-Verlag New York.


    18. 05.05.2020 (ore 2) Gruppi e algebre di Lie. Azione di un gruppo su una varietà

    Riferimento: W. M. Boothby, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian Geometry, Mathematics 120, Academic Press, 1986 e anche  T. Bröcker, T. tom Dieck
    Representations of Compact Lie Groups, GTM Springer, 1985.


    19. 07.05.2020 (ore 2) Il gruppo SO(3), il suo rivestimento universale SU(2). Quaternioni. Gruppi fondamentali. La fibrazione di Hopf.


    20. 14.05.2020 (ore 2) Fibrati principali e fibrati vettoriali associati mediante una rappresentazione del gruppo di struttura G.


    21. 19.05.2020 (ore 2).  Funzioni di transizione, sezioni locali di un fibrato principale e banalizzazione, cenno a riduzione e sollevamento de gruppo di struttura. 

    22. 21.05.2020 (ore 2). Connessioni su fibrati vettoriali e principali. Connessione dal fibrato principale a un fibrato vettoriale associato. 

    23. 26.05.2020  (ore 2) Viceversa, dalla connessione sul fibrato vettoriale a una connessione sul fibrato dei riferimenti. Trasporto parallelo.

    24. 28.05.2020  (ore 2) Derivata covariante. Sollevamento orizzontale. Connessione di Levi-Civita. Olonomia, teorema di classificazione di Berger.

    25. 03.06.2020  (ore 2) Curvartura di una connessione in fibrati vettoriali e principali. Teorema di Gauss-Bonnet e Teorema di Gauss-Bonnet generalizzato, cenno a fibrati complessi hermitiani e alle classi di Chern. 





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