B005518 (B036) - GEOMETRIA E ALGEBRA COMPUTAZIONALE (CURRICULUM: GENERALE - C75) 2019-2020
Topic outline
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Annunci e news di carattere generale
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3/3/2020
Introduzione al corso. L'anello dei polinomi è noetheriano, è UFD. Divisione con resto in una variabile. Ideali monomiali. Ordini monomiali. Esempi: Lex, GLex, GRevLex.
10/3/2020
Lezione a distanza sull'algoritmo di divisione, basata sulla presentazione (keynote) reperibile qui sotto. Parte della lezione è registrata su GDrive al link seguente (cartella GAC)
https://drive.google.com/drive/u/0/folders/1MWYEGW0Yz284tKiuAk04JZXE4D4ZBsQ2
La presentazione disponibile qui sotto in pdf su proprietà degli ordini monomiali è disponibile come video con commento audio sempre alla cartella GAC precedente
13/3/2020
Esercitazione di introduzione a M2 col file primo.m2 (vedi sotto)
14/3/2020
Ideale dei leadTerm e basi di Groebner. La presentazione disponibile qui sotto in pdf su Ideale dei leadTerm e basi di Groebner è disponibile come video con commento audio sempre alla cartella GAC su gdrive.
20/3/2020
S-coppie, criterio di Buchberger, algoritmo di Buchberger, algoritmo per il calcolo della forma normale di un elemento rispetto a un ideale. La presentazione disponibile qui sotto in pdf su S-coppie e algoritmo di Buchberger è disponibile come video con commento audio sempre alla cartella GAC su gdrive.
24/3/2020 Teorema di eliminazione. Intersezione tra due ideali. MCD e mcm tra polinomi. La presentazione disponibile qui sotto in pdf su teorema di eliminazione e prime applicazioni è disponibile come video con commento audio sempre alla cartella GAC su gdrive.
27/3/2020 esercizi di riepilogo. Un esercizio di geometria piana sulle altezze di un triangolo è contenuto nel file altezze.m2
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3/4/2020
I(X) come ideale radicale. Varietà algebriche affini. Topologia di Zariski. La cubica gobba. Esempi di curve e superfici algebriche. Enunciato del Teorema degli zeri di Hilbert. Chiusura di Zariski. Corrispondenza tra ideali radicali e varietà algebriche su un campo algebricamente chiuso. V è irriducibile se e solo se I(V) è primo. La presentazione disponibile qui sotto in pdf su introduzione alle varietà algebriche è disponibile come video con commento audio sempre alla cartella GAC su gdrive.
7/4/2020 Il risultante e il discriminante. Il risultante di p, q è combinazione di p, q. La presentazione disponibile qui sotto in pdf sul risultante è disponibile come video con commento audio sempre alla cartella GAC su gdrive.
17/4/2020 Il teorema di estensione. Il Teorema degli zeri debole e la dimostrazione del teorema degli zeri. Algoritmo di consistenza. Ideali massimali dell'anello delle coordinate di una varietà algebrica. Teorema di chiusura. Algoritmo di appartenenza al radicale di un ideale. La presentazione disponibile qui sotto in pdf sul teorema di estensione e la dimostrazione del teorema degli zeri è disponibile come video con commento audio sempre alla cartella GAC su gdrive.
20/4/2020 Indice cromatico e ideale k-cromatico di un grafo. k-colorabilità mediante le basi di Groebner. La presentazione disponibile qui sotto in pdf sulla colorabilità dei grafi è disponibile come video con commento audio sempre alla cartella GAC su gdrive.24/4/2020 Varietà razionali e unirazionali. Le curve di Fermat non sono unirazionali. Parametrizzazioni polinomiali e razionali. Equazione della chiusura della parametrizzazione. Parametrizzazione di curve razionali. La presentazione disponibile qui sotto in pdf sulle parametrizzazioni è disponibile come video con commento audio sempre alla cartella GAC su gdrive.
28/4/2020 Ridotto di un elemento. Molteplicità di intersezione tra una retta e una curva. Punti singolari e nonsingolari di curve affini e proiettive. Retta tangente in un punto nonsingolare. Punto singolare ordinario di una curva piana, flessi. Forma debole del teorema di Bezout. La presentazione disponibile qui sotto in pdf sulle curve algebriche è disponibile come video con commento audio sempre alla cartella GAC su gdrive.
5/5/2020 Esercizi su punti singolari , flessi. Inviluppi. Evoluta di una curva piana.
8/5/2020 Esercitazione su varietà algebriche. Interpretazione geometrica del discriminante come varietà rigata da spazi lineari tangenti.
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12/5/2020 Matrici compagne e loro proprietà. Teoria spettrale delle matrici compagne. Teorema cinese dei resti per polinomi. Presentazione GAC3-1
15/5/2020 Interpolazione di Hermite, assegnando sviluppi di Taylor in punti dati. La forma di Killing, gli addendi del teorema cinese dei resti sono ortogonali a 2 a 2. Teorema di Sylvester sul numero delle radici reali di un polinomio reale. Presentazione GAC3-2
19/5/2020 La forma traccia rispetto a un polinomio reale h. Calcolo del numero di radici reali dove h assume un segno assegnato. Localizzazione delle radici. Criteri effettivi. Presentazione GAC3-3
22/5/2020 Ideali zero-dimensionali. Diagonalizzazione simultanea. Matrici compagne in più variabili e loro proprietà. Presentazione GAC3-4
26/5/2020 Esercizi su matrici e polinomi in una variabile. Testo: esegac_hermite Soluzioni: hermite.m2
29/5/2020 Elementi invertibili in una algebra zero-dimensionale. Gli autovalori di M_h corrispondono ai valori assunti da h. Decomposizione primaria di un ideale zero-dimensionale. Molteplicità di un punto. Localizzazione dell'algebra. Un ideale zero-dimensionale è radicale se e solo se tutti i punti hanno molteplicità uno. Presentazione GAC3-5.
3/6/2020 Teorema di Stickelberger sulle coordinate dei punti di V(I). L'ideale di eliminazione di I in ciascuna variabile. Autovettori della trasposta di M_h e coordinate dei punti di V(I). Teorema di Hermite sulla segnatura della forma traccia in più variabili e il numero di radici reali di un ideale zero-dimensionale. Presentazione GAC3-6. File compmany.m2
5/6/2020 Esercizi di riepilogo